Question

如圖，過點B（4，0）的直線與直線y=x相交于一象限的點A，反比例函數的圖象過點A，若∠OAB=90°；
①求直線AB和雙曲線的解析式；

②G為雙曲線上一點，若S_△OBG=2，求點G的坐標；
③在第一象限內，M是雙曲線上A點右側（不包括A點）的一動點，連OM交AB于點E，取OB中點C，作∠ECF=90°交AO于點F，當M在雙曲線上運動時

OF2+BE2

2EF2

的值是否變化？若不變化請求出它的值，寫出求解過程；若變化，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求直線AB和雙曲線的解析式，就必須知道點A的坐標，求點A的坐標是關鍵，利用點A在y=x上及∠OAB=90°在這個等腰直角三角形中可以求出點A的坐標而解析式．
（2）要求雙曲線上的點G的坐標，設點G的縱坐標為a，則G（

4

a

，a），然后代入面積公式就可以求出a的值，從而求出G的坐標．
（3）要確定

OF2+BE2

2EF2

的值是否變化，就聯想到把這三條線段轉化到直角三角形中，利用勾股定理來確定這個式子的值，這就涉及到線段的轉化，考慮到利用三角形全等，而在等腰直角三角形中作底邊上的高或中線或頂角的角平分線這是常用的輔助線的作法，所以只要連接AC，問題就可以得到解決了．

解答：解：（1）過點A作AE⊥OB于E．
∵點A在y=x上，
∴∠AOB=45°，
∵∠OAB=90°，
∴∠OBA=45°，∠AOB=∠OBA，
∴OA=BA，
∴△OAB為等腰直角三角形．
∵AE⊥OB，
∴AE=OE=

1

2

OB=2，
∴A（2，2）．
設雙曲線的解析式為y=

k

x

，
∵點A在雙曲線上，
∴2=

k

2

，
解得k=4．
∴雙曲線的解析式為：y=

4

x

．
設直線AB的解析式為y₁=k₁x+b，由題意，得

2=2k1+b 0=4k1+b

，
解得：

k1=-1 b=4

．
設直線AB的解析式為y₁=-x₁+4．

（2）設點G的縱坐標為a，則G（

4

a

，a），
∴

4|a|

2

=2，
a=±1，
∴G（4，1）或G（-4，-1）；

（3）連接AC，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠4=∠5=45°，AC⊥OB，
∴∠ACB=∠3+∠2=90°OC=BC=AC，
∵∠ECF=∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴△CFA≌△CEB．
∴AF=BE．
同理可得△CFO≌△CEA．
得AE=OF．
在Rt△AFE中，由勾股定理得
AF²+AE²=EF²，
∴BE²+OF²=EF²
∴

OF2+BE2

2EF2

=

1

2

．

OF2+BE2

2EF2

是定值為

1

2

．

點評：本題考查了反比例函數、一次函數的解析式、三角形全等、特殊圖形輔助線的運用，學生在解答時要認真審題．找到解決問題的突破口．