Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，連接OA、OB，若OA⊥OB，OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA，則k的值為（　�。�

• A． 1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -1
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（c，d），可得ab=1，OD=a，AD=b，k=cd，OC=-c，BC=d．易證△OCB∽△ADO，利用相似三角形的性質(zhì)可得OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD，則有-c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，從而可求出k的值．

解答 解：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，
則有∠ADO=∠OCB=90°．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（c，d），
∵第一象限的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴ab=2，a＞0，b＞0，
∴OD=a，AD=b．
∵第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=cd，c＜0，d＞0，
∴OC=-c，BC=d．
∵OA丄OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠DOA=90°-∠COB=∠CBO，
∴△OCB∽△ADO，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{BC}{OD}$=$\frac{OB}{OA}$．
∵OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD，
∴-c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴k=cd=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=-$\frac{1}{2}$ab=-$\frac{1}{2}$×2=-1，
∴k=-1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造K型相似是解決本題的關(guān)鍵．