Question

【題目】某公司經(jīng)銷的一種產(chǎn)品每件成本為40元，要求在90天內(nèi)完成銷售任務(wù)．已知該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷售價(jià)格與時(shí)間（第x天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間（第x天）	1≤x＜50	50≤x≤90
	x+50	90

任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)銷售員小王90天內(nèi)日銷售量p（件）與時(shí)間（第x天）滿足一次函數(shù)關(guān)系p＝﹣2x+200．設(shè)小王第x天銷售利潤(rùn)為W元．

（1）直接寫出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，井注明自變量x的取值范圍；

（2）求小生第幾天的銷售量最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)平均每個(gè)銷售員每天銷售利潤(rùn)為4800公司制定如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：如果一個(gè)銷售員某天的銷售利潤(rùn)超過(guò)該平均值，則該銷售員當(dāng)天可獲得200元獎(jiǎng)金．請(qǐng)計(jì)算小王一共可獲得多少元獎(jiǎng)金？

Answer 1

【答案】（1）；（2）小王第45天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050元；（3）小王一共可獲得6200元獎(jiǎng)金.

【解析】

（1）依據(jù)題意銷售利潤(rùn)=銷售量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）易得出銷售利潤(rùn)為W（元）與x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）依據(jù)（1）中函數(shù)的增減性求得最大利潤(rùn)；

（3）根據(jù)銷售利潤(rùn)為W（元）與x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式，求出利潤(rùn)超過(guò)4800元的天數(shù)即可求得可獲得的獎(jiǎng)金金額.

（1）依題意：，

整理得；

（2）①當(dāng)1≤x＜50時(shí)，W＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，

∵﹣2＜0，

∴拋物線開口向下，

∴當(dāng)x＝45時(shí)，W有最大值為6050；

②當(dāng)50≤x≤90時(shí)，W＝﹣100x+10000，

∵﹣100＜0，

∴W隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x＝50時(shí)，W有最大值為5000，

∵6050＞5000，

∴當(dāng)x＝45時(shí)，W的值最大，最大值為6050，

即小王第45天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050元；

（3）①當(dāng)1≤x＜50時(shí)，令W＝4800，得W＝﹣2（x﹣45）2+6050＝4800，

解得x1＝20，x2＝70，

∴當(dāng)W＞4800時(shí)，20＜x＜70，

∵1≤x＜50，

∴20＜x＜50；

②當(dāng)50≤x≤90時(shí)，令W＞4800，W＝﹣100x+10000＞4800，

解得x＜52，

∵50≤x≤90，

∴50≤x＜52，

綜上所述：當(dāng)20＜x＜50時(shí)，W＞4800，即共有51﹣21+1＝31天的銷售利潤(rùn)超過(guò)4800元，

∴可獲得獎(jiǎng)金200×31＝6200元，

即小王一共可獲得6200元獎(jiǎng)金.