Question

【題目】如圖1所示，已知：點(diǎn)A（﹣2，﹣1）在雙曲線C：y= 上，直線l1：y=﹣x+2，直線l2與l1關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，F(xiàn)1（2，2），F(xiàn)2（﹣2，﹣2）兩點(diǎn)間的連線與曲線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為B，P是曲線C上第一象限內(nèi)異于B的一動點(diǎn)，過P作x軸平行線分別交l1 ， l2于M，N兩點(diǎn)．

（1）求雙曲線C及直線l2的解析式；
（2）求證：PF2﹣PF1=MN=4；
（3）如圖2所示，△PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2 ， PF1 ， PF2三邊分別相切于點(diǎn)Q，R，S，求證：點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合．（參考公式：在平面坐標(biāo)系中，若有點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則A、B兩點(diǎn)間的距離公式為AB= ．）

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣2，﹣1）代入y= 中得：

a=（﹣2）×（﹣1）=2，

∴雙曲線C：y= ，

∵直線l1與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是（2，0）、（0，2），它們關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是（﹣2，0）、（0，﹣2），

∴l(xiāng)2：y=﹣x﹣2

（2）

解：設(shè)P（x， ），

由F1（2，2）得：PF12=（x﹣2）2+（ ﹣2）2=x2﹣4x+ ﹣ +8，

∴PF12=（x+ ﹣2）2，

∵x+ ﹣2= = ＞0，

∴PF1=x+ ﹣2，

∵PM∥x軸

∴PM=PE+ME=PE+EF=x+ ﹣2，

∴PM=PF1，

同理，PF22=（x+2）2+（ +2）2=（x+ +2）2，

∴PF2=x+ +2，PN=x+ +2

因此PF2=PN，

∴PF2﹣PF1=PN﹣PM=MN=4

（3）

解：

△PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2，PF1，PF2三邊分別相切于點(diǎn)Q，R，S，

∴ PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4

又∵QF2+QF1=F1F2=4 ，QF1=2 ﹣2，

∴QO=2，

∵B（ ， ），

∴OB=2=OQ，

所以，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合

【解析】（1）利用點(diǎn)A的坐標(biāo)求出a的值，根據(jù)原點(diǎn)對稱的性質(zhì)找出直線l2上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出解析式；（2）設(shè)P（x， ），利用兩點(diǎn)距離公式分別求出PF1、PF2、PM、PN的長，相減得出結(jié)論；（3）利用切線長定理得出 ，并由（2）的結(jié)論P(yáng)F2﹣PF1=4得出PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4，再由兩點(diǎn)間距離公式求出F1F2的長，計算出OQ和OB的長，得出點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合．此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，將代數(shù)與幾何融合在一起，注意函數(shù)中線段的長可以利用本題給出的兩點(diǎn)距離公式解出，也可以利用勾股定理解出；解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握性質(zhì):當(dāng)k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．