Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延長(zhǎng)CA到O，使AO＝AC，以O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作⊙O交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接CD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）S陰影＝2﹣ π．

【解析】

（1）連接OD，求出∠OAD＝60°，得出等邊三角形OAD，求出AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，求出∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，求出∠ODC＝90°，根據(jù)切線的判定得出即可；

（2）求出OD，根據(jù)勾股定理求出CD長(zhǎng)，分別求出三角形ODC和扇形AOD的面積，相減即可．

（1）證明：連接OD，

∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，

∴∠OAD＝∠BAC＝60°，

∵OD＝OA，

∴△OAD是等邊三角形，

∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，

∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，

∴∠ODC＝60°+30°＝90°，

即OD⊥DC，

∵OD為半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴OD＝OA＝AC＝AB＝2，

由勾股定理得：CD＝

∴S陰影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝ ．