如圖,在直角坐標(biāo)系中,以AB為直徑的⊙C交x軸于A,交y軸于B,滿(mǎn)足OA:OB=4:3,以O(shè)C為直徑作⊙D,設(shè)⊙D的半徑為2.
(1)求⊙C的圓心坐標(biāo);
(2)過(guò)C作⊙D的切線(xiàn)EF交x軸于E,交y軸于F,求直線(xiàn)EF的解析式;
(3)拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸過(guò)C點(diǎn),頂點(diǎn)在⊙C上,與y軸交點(diǎn)為B,求拋物線(xiàn)的解析式.
(1)∵OA⊥OB,OA:OB=4:3,⊙D的半徑為2
∴⊙C過(guò)原點(diǎn),OC=4,AB=8
A點(diǎn)坐標(biāo)為(
32
5
,0)B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,
24
5

∴⊙C的圓心C的坐標(biāo)為(
16
5
,
12
5
)(3分)

(2)由EF是⊙D的切線(xiàn),
∴OC⊥EF
∵CO=CA=CB
∴∠COA=∠CAO,∠COB=∠CBO
∴Rt△AOBRt△OCERt△FCO
OE
AB
=
OC
OA
,
OF
AB
=
OC
OB

∴OE=5,OF=
20
3

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)(0,
20
3

∴切線(xiàn)EF的解析式為y=-
4
3
x+
20
3
;(7分)

(3)①當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下時(shí),由題意,得
拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
16
5
,
12
5
+4),
可得:-
b
2a
=
16
5
,
4ac-b2
4a
=
32
5
,c=
24
5

∴a=-
5
32
,b=1,c=
24
5
,
∴y=-
5
32
x2+x+
24
5
;(10分)
②當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上時(shí),
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
16
5
,
12
5
-4),
可得:-
b
2a
=
16
5
4ac-b2
4a
=-
8
5
,c=
24
5

∴y=
5
8
x2-4x+
24
5
;
綜上所述,拋物線(xiàn)解析式為:
y=-
5
32
x2+x+
24
5
或y=
5
8
x2-4x+
24
5
.(12分)
注:其他解法參照以上評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)(1,
21
4
),(2,
11
2
)兩點(diǎn),與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的右邊一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.
(1)求此二次函數(shù)的解析式并畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象;
(2)求線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)的函數(shù)解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)y=
1
2
x2
交于A、B兩點(diǎn).
(1)求交點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)記一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y1,二次函數(shù)y=
1
2
x2
的函數(shù)值為y2.若y1>y2,求x的取值范圍;
(3)在該拋物線(xiàn)上存在幾個(gè)點(diǎn),使得每個(gè)點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形?并求出不少于3個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,且A(0,-2),AB=4,連接AC,拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn).點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng),1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)A出發(fā)以每秒7個(gè)單位的速度沿AO,OC,CB邊向點(diǎn)B移動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到OC上時(shí),設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)PQ⊥AC時(shí),求t的值;
(3)當(dāng)PQAC時(shí),對(duì)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)H,∠HOQ>∠POQ,求點(diǎn)H的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線(xiàn):y=
1
2
x2+bx+c
與x軸交于A、B(A在B左側(cè)),頂點(diǎn)為C(1,-2),
(1)求此拋物線(xiàn)的關(guān)系式;并直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo).
(2)求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑.
(3)在拋物線(xiàn)上找點(diǎn)P,在y軸上找點(diǎn)E,使以A、B、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P、E的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,現(xiàn)將一塊腰長(zhǎng)為
5
的等腰直角三角板ABC放在第三象限,斜靠在兩坐標(biāo)軸上,且點(diǎn)A(0,-2),直角頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上(如圖所示),拋物線(xiàn)y=ax2+ax+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____;
(2)求拋物線(xiàn)的解析式;
(3)在拋物線(xiàn)上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō):“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題--將軍飲馬問(wèn)題:
如圖1所示,詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短?
作法如下:如(1)圖,從B出發(fā)向河岸引垂線(xiàn),垂足為D,在AP的延長(zhǎng)線(xiàn)上,取B關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,連接AB′,與河岸線(xiàn)相交于P,則P點(diǎn)就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線(xiàn)走到P,飲馬之后,再由P沿直線(xiàn)走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發(fā)現(xiàn)
再如(2)圖,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn),連接EF,在線(xiàn)段EF上找一點(diǎn)P,使BP+AP最短.
作點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接AC交EF于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+AP的最小值為_(kāi)_____.

(2)實(shí)踐運(yùn)用
如(3)圖,已知⊙O的直徑MN=1,點(diǎn)A在圓上,且∠AMN的度數(shù)為30°,點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P在直徑MN上運(yùn)動(dòng),求BP+AP的最小值.

(3)拓展遷移
如圖,已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(-1,0)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
①求這條拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=1上找到一點(diǎn)M,使△ACM周長(zhǎng)最小,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與△ACM周長(zhǎng)最小值.(結(jié)果保留根號(hào))

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線(xiàn)y=
1
2
x2+mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn),直線(xiàn)y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與這條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M(1,2),且點(diǎn)M與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).
(1)求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)圖象,寫(xiě)出函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時(shí),自變量x的取值范圍;
(3)設(shè)題中的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的另一交點(diǎn)為C,已知P(x,y)為直線(xiàn)AC上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q.當(dāng)-1≤x≤1.5時(shí),求線(xiàn)段PQ的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某校課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備利用學(xué)校的一面墻,用長(zhǎng)為30米的籬笆圍成一個(gè)矩形生物苗圃園.
(1)若墻長(zhǎng)為18米(如圖所示),當(dāng)垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少米時(shí),這個(gè)苗圃園的面積等于88平方米?
(2)當(dāng)垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少米時(shí),這個(gè)苗圃園的面積最大,并求出這個(gè)最大值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案