Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點D在AB延長線上，且∠BCD=∠A．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若∠A=30°，AC=2$\sqrt{3}$，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)得∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，則∠A+∠BCO=90°，加上∠BCD=∠A，所以∠BCD+∠BCO=90°，于是根據(jù)切線的判定方法可判斷DC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ACB中計算出BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2，AB=2BC=4，再計算出∠AOC=120°，然后根據(jù)扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S_扇形AOC-S_△AOC進行計算．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，OB=OC，
∴∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠A+∠BCO=90°，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切線；
（2）在Rt△ACB中，∵∠A=30°，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2，
AB=2BC=4，
∵∠AOC=180°-∠A-∠ACO=120°，
∴圖中陰影部分的面積=S_扇形AOC-S_△AOC=S_扇形AOC-$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•2•2$\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．注意把不規(guī)律圖形的面積的計算問題化為規(guī)則圖形面積的和差的計算問題．