Question

【題目】數(shù)學(xué)問(wèn)題： 如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣20，點(diǎn)B表示的數(shù)為40，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以每秒8個(gè)單位的速度先沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)原點(diǎn)后立即按原速返回，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)N回到點(diǎn)B時(shí)，三點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）三個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t（0＜t＜5）秒時(shí)，則P、Q、N三點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的三個(gè)數(shù)分別為 ， ， ．
（2）當(dāng)QN=10個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P在數(shù)軸上所表示的數(shù)．
（3）嘗試借助上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)，建立數(shù)軸完成下面實(shí)際問(wèn)題： 碼頭C位于A、B兩碼頭之間，且知AC=20海里，AB=60海里，甲船從A碼頭順流駛向B碼頭，乙船從C碼頭順流駛向B碼頭，丙船從B碼頭開(kāi)往C碼頭后立即調(diào)頭返回B碼頭．已知甲船在靜水中航速為5海里/小時(shí)，乙船在靜水中航速為4海里/小時(shí)，丙船在靜水中航速為8海里/小時(shí)，水流速度為2海里/小時(shí)，三船同時(shí)出發(fā)，每艘船都行駛到B碼頭停止．
在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存某一時(shí)刻，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)甲船離B碼頭的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）﹣20+5t；4t；40﹣8t
（2）解：Q、N相遇的時(shí)間為 秒，Q到B的時(shí)間為10秒，N到O的時(shí)間為5秒，N到B的時(shí)間為10秒．

N到O前，P所表示的數(shù)為﹣20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為40﹣8t．

①Q(mào)、N相遇前：40﹣8t﹣4t=10，解得t=2.5，

所以P所表示的數(shù)為﹣20+5×2.5=﹣7.5；

②Q、N相遇后，N到O前，4t﹣（40﹣8t）=10，解得t= ，

所以P所表示的數(shù)為﹣20+5× = ；

③Q、N相遇后，N到O后：

P所表示的數(shù)為﹣20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為8（t﹣5），

4t﹣8（t﹣5）=10，解得t=7.5，

所以P所表示的數(shù)為﹣20+5×7.5=17.5

（3）解：建立如圖所示的數(shù)軸A所表示的數(shù)為﹣20；C所表示的數(shù)為0；B所表示的數(shù)為40．

甲到C的時(shí)間為 秒，甲到B的時(shí)間為 秒，乙到B的時(shí)間為 秒，

丙到C的時(shí)間為 秒，丙到B的時(shí)間為 秒，甲遇丙的時(shí)間為 秒，乙遇丙的時(shí)間為 秒，甲追乙的時(shí)間為20（舍），丙追甲的時(shí)間為（舍）．丙到C前，甲所表示的數(shù)為﹣20+7t；乙所表示的數(shù)為6t；丙所表示的數(shù)為40﹣6t

① 乙丙相遇前：6t﹣（﹣20+7t）=40﹣6t﹣6t，解得t= ，

所以甲船離B碼頭的距離為40﹣（﹣20+7× ）= （海里）；

②甲丙相遇前：40﹣6t﹣（﹣20+7t）=6t﹣（40﹣6t），解得t=4，

所以甲船離B碼頭的距離為40﹣（﹣20+7×4）=32（海里）；

③甲丙相遇后，丙到C前：6t﹣（﹣20+7t）=﹣20+7t﹣（40﹣6t），解得t= ，

所以甲船離B碼頭的距離為40﹣（﹣20+7× ）=20（海里）；

④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的數(shù)為﹣20+7t；乙所表示的數(shù)為6t；丙所表示的數(shù)為10（t﹣ ）．

6t﹣（﹣20+7t）=﹣20+7t﹣10（t﹣ ），解得t= ＞ （舍）．

綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分別在 小時(shí)、4小時(shí)、 小時(shí)時(shí)，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等，此時(shí)甲船離B碼頭的距離分別為 海里，32海里，20海里．

【解析】解：（1）三個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t（0＜t＜5）秒時(shí)，則P、Q、N三點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的三個(gè)數(shù)分別為﹣20+5t，4t，40﹣8t．所以答案是﹣20+5t，4t，40﹣8t；
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)軸和兩點(diǎn)間的距離對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的一條直線；同軸兩點(diǎn)求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個(gè)點(diǎn)，間距求法亦如此．平面任意兩個(gè)點(diǎn)，橫縱標(biāo)差先求值．差方相加開(kāi)平方，距離公式要牢記．