Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）及B（-2，0）兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B、點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出四邊形NQAC的面積的最大值；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用交點(diǎn)式得出拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+2），將C（0，-2）坐標(biāo)代入求出a的值即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出線段BM所在的直線的解析式，再利用S=S_△AOC+S_梯形OCNQ求出S與t間的函數(shù)關(guān)系式即可求出最值；
（3）利用①若∠APC=90°，則PC²+PA²=AC²，②若∠ACP=90°，則PC²+AC²=PA²，③若∠PAC=90°，則AC²+PA²=PC²，分別求出m的值即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）及B（-2，0）兩點(diǎn)．
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+2），將C（0，-2）坐標(biāo)代入，-2=a（0-1）（0+2），
解得：a=1，
故y=x²+x-2=（x+） ²-；則其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）．

（2）設(shè)線段BM所在直線的解析式為y=kx+b，
∴．
解得：，
∴線段BM所在的直線的解析式為y=-x-3．
∵-t=-x-3，∴，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（，-t），
∴S=S_△AOC+S_梯形OCNQ=×1×2+（2+t）•||=．
∴S與t間的函數(shù)關(guān)系式為S==-（t²-t）+3=-（t-）²+，
故時(shí)，S的最大值為．

（3）存在符合條件的點(diǎn)P，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P，如圖，連接PA、PC，作CE⊥MP于E．
則AC²=1²+2²=5；；．
分以下幾種情況討論：
①若∠APC=90°，則PC²+PA²=AC²，
即+=5，
解得：，
②若∠ACP=90°，則PC²+AC²=PA²，
即+5=，
解得：．
③若∠PAC=90°，則AC²+PA²=PC²，+5=，
解得：．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)分別是：，，，．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題以及勾股定理的應(yīng)用等知識，注意△PAC為直角三角形時(shí)，需要分三種情況進(jìn)行討論，以防漏解．