Question

某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個八邊形居民廣場（平面圖如圖，其中，正方形MNPQ與四個相同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為800m²．
（1）設(shè)矩形的邊長AB=x（m），AM=y（m），用含x的代數(shù)式表示y為

 

；
（2）現(xiàn)計劃在正方形區(qū)域上建成雕塑和花壇，平均每平方米造價為2 100元，在四個相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪，平均每平方米造價為105元，在四個三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪，平均每平方米造價為40元．
①設(shè)該工程的總造價為s（元），求s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；
②若該工程的銀行貸款為235 000元，問僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出設(shè)計方案；若不能，請說明理由；
③若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上，又增加資金73 000元，請問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出所有可能的設(shè)計方案；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，正方形MNPQ與四個相同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為800m²列出關(guān)系式即可．
（2）①可根據(jù)等量關(guān)系：總造價=矩形區(qū)域鋪花崗巖的造價+四角直角三角形中鋪草坪的造價來得出關(guān)于s，x，y的等量關(guān)系式，然后根據(jù)①中y，x的關(guān)系式用x替換掉y，即可得出s，x的函數(shù)關(guān)系式．
②根據(jù)①的函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最小值是多少，如果S的最小值大于銀行貸款的數(shù)額，那么只靠銀行貸款就不能完成此項目，反之則能．
③可將銀行貸款與追加的金額的和（即S的值）代入①的函數(shù)式中即可求出x的值．進而可根據(jù)x，y即AB，AM的長來設(shè)計方案．

解答：解：（1）y=

800-x2

4x

（0＜x＜20

2

）．

（2）①s=2100x²+105×4xy+40×4×

1

2

y²
=2100x²+420x×

800-x2

4x

+80（

200

x

-

x

4

）²
=2000x²+

3 200 000

x2

+76000（0＜x＜20

2

）．
②s=2000（x²+

1 600

x2

-80）+76000+2000×80=2000×（x-

40

x

）²+236000＞235000．
∴光靠銀行貸款不能完成該工程的建設(shè)任務(wù)．
③由s=235000+73000=308000，
2000x²+

3 200 000

x2

+76000=308000，
即x²-116+

1 600

x2

=0．
設(shè)x²=t，
得t²-116t+1600=0，
得t₁=100，t₂=16．
當t=100時，x²=100，x₁=10，x₂=-10（舍去）．此時y=17.5；
當t=16時，x²=16，x=±4（舍去負值），此時y=49．
故設(shè)計方案為
情形一：正方形區(qū)域邊長為10m，四個相同的矩形區(qū)域的長和寬分別為17.5m和10m，四個相同的三角形區(qū)域的直角邊長為17.5m．
情形二：正方形區(qū)域的邊長為4m，四個相同的矩形區(qū)域的長和寬分別為49m和4m，四個相同的三角形區(qū)域的直角邊長均為49m．
（設(shè)計方案不同，得出的結(jié)果就不同）

點評：本題結(jié)合實際問題考查了二次函數(shù)以及一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找準等量關(guān)系從而列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．