Question

如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3），把直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）求過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)E是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，使四邊形OECD的面積S₁，是四邊形OACD面積S的

2

3

？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3），由此可以確定函數(shù)的解析式，又把直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可確定m的值；
（2）由于直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，由此首先確定直線BD的解析式，接著可以確定C，D的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法即可確定過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）如圖，利用（1）（2）知道四邊形OACD是梯形，利用已知條件可以求出其面積，設(shè)E的橫坐標(biāo)為x，那么利用x可以表示其縱坐標(biāo)，也可以表示△OEC的面積，而△OCD的面積可以求出，所以根據(jù)四邊形OECD的面積S₁，是四邊形OACD面積S的

2

3

即可列出關(guān)于x的方程，利用方程即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3），
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為：y=

9 x

，
而直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），
∴m=

9

6

=

3

2

；

（2）∵直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，

3

2

），
與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，
而這些OA的解析式為y=x，
設(shè)直線CD的解析式為y=x+b，
代入B的坐標(biāo)得：

3

2

=6+b，
∴b=-4.5，
∴直線OC的解析式為y=x-4.5，
∴C、D的坐標(biāo)分別為（4.5，0），（0，-4.5），
設(shè)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
分別把A、B、D的坐標(biāo)代入其中得：

3=9a+3b+c 1.5=36a+6b+c -4.5=c

，
解之得：a=-0.5，b=4，c=-4.5
∴y=-0.5x²+4x-4.5；

（3）如圖，設(shè)E的橫坐標(biāo)為x，
∴其縱坐標(biāo)為-0.5x²+4x-4.5，
∴S₁=

1

2

（-0.5x²+4x-4.5+OD）×OC，
=

1

2

（-0.5x²+4x-4.5+4.5）×4.5，
=

1

2

（-0.5x²+4x）×4.5，
而S=

1

2

（3+OD）×OC=

1

2

（3+4.5）×4.5=

135

8

，
∴

1

2

（-0.5x²+4x）×4.5=

2

3

×

135

8

，
解之得x=4±

6

，
∴這樣的E點(diǎn)存在，坐標(biāo)為（4-

6

，0.5），（4+

6

，0.5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式．此題也為數(shù)學(xué)建模題，借助一元二次方程解決探究問(wèn)題．