Question

如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．

（1）圖2中的陰影部分的面積為

（b-a）²

；
（2）觀察圖2請你寫出 （a+b）²、（a-b）²、ab之間的等量關系是

（a+b）²-（a-b）²=4ab

；
（3）根據（2）中的結論，若x+y=5，x•y=

9

4

，則x-y=

±4

；
（4）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式．如圖3，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（a+b）•（3a+b）=3a²+4ab+b²

．

Answer 1

分析：（1）陰影部分為邊長為（b-a）的正方形，然后根據正方形的面積公式求解；
（2）在圖2中，大正方形有小正方形和4個矩形組成，則（a+b）²-（a-b）²=4ab；    
（3）由（2）的結論得到（x+y）²-（x-y）²=4xy，再把x+y=5，x•y=

9

4

得到（x-y）²=16，然后利用平方根的定義求解；
（4）觀察圖形得到邊長為（a+b）與（3a+b）的矩形由3個邊長為a的正方形、4個邊長為a、b的矩形和一個邊長為b的正方形組成，則有（a+b）•（3a+b）=3a²+4ab+b²．

解答：解：（1）陰影部分為邊長為（b-a）的正方形，所以陰影部分的面積（b-a）²；
（2）圖2中，用邊長為a+b的正方形的面積減去邊長為b-a的正方形等于4個長寬分別a、b的矩形面積，
所以（a+b）²-（a-b）²=4ab；    
（3）∵（x+y）²-（x-y）²=4xy，
而x+y=5，x•y=

9

4

，
∴5²-（x-y）²=4×

9

4

，
∴（x-y）²=16，
∴x-y=±4；
（4）邊長為（a+b）與（3a+b）的矩形面積為（a+b）（3a+b），它由3個邊長為a的正方形、4個邊長為a、b的矩形和一個邊長為b的正方形組成，
∴（a+b）•（3a+b）=3a²+4ab+b²．
故答案為（b-a）²；（a+b）²-（a-b）²=4ab；±4；（a+b）•（3a+b）=3a²+4ab+b²．

點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景：利用面積法證明完全平方公式（a-b）2=a²-2ab+b²．