Question

20．幾位同學嘗試用矩形紙條ABCD（如圖1）折出常見的中心對稱圖形．

（1）如圖2，小明將矩形紙條先對折，使AB和DC重合，展開后得折痕EF，再折出四邊形ABEF和CDEF的對角線，它們的對角線分別相交于點G，H，最后將紙片展平，則四邊形EGFH的形狀一定是菱形．
（2）如圖3，小華將矩形紙片沿EF翻折，使點C，D分別落在矩形外部的點C′，D′處，F(xiàn)C′與AD交于點G，延長D′E交BC于點H，求證：四邊形EGFH是菱形．
（3）如圖4，小美將矩形紙條兩端向中間翻折，使得點A，C落在矩形內(nèi)部的點A′，C′處，點B，D落在矩形外部的點B′，D′處，折痕分別為EF，GH，且點H，C′，A′，F(xiàn)在同一條直線上，試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)，易證得四邊形AECF與四邊形BFDE是平行四邊形，繼而可證得四邊形EGFH是平行四邊形，又由折疊的性質(zhì)，證得∠AFE=∠DFE，即可得四邊形EGFH的形狀一定是菱形；
（2）易得四邊形EGFH是平行四邊形，又由折疊的性質(zhì)得：∠CFE=∠GFE，繼而證得GE=GF，則可得四邊形EGFH是菱形；
（3）首先由矩形ABCD中，AD∥BC，可得∠AHF=∠CFH，由折疊的性質(zhì)得：∠GHF=$\frac{1}{2}$∠AHF，∠EFH=$\frac{1}{2}$∠CFH，繼而證得GH∥EF，繼而可證得四邊形EFGH是平行四邊形．

解答 （1）菱形．
理由：∵小明將矩形紙條先對折，使AB和DC重合，展開后得折痕EF，
∴AD∥BC，AE=ED=BF=CF，
∴四邊形AECF與四邊形BFDE是平行四邊形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
∵EF⊥AD，AE=DE，
∴AF=DF，
∴∠EFG=∠EFH，
∵∠FEG=∠EFH，
∴∠EFG=∠FEG，
∴EG=FG，
∴四邊形EGFH是菱形；
故答案為：菱形；

（2）證明：∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴EG∥FH，EH∥FG，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
由折疊的性質(zhì)得：∠CFE=∠GFE，
∴∠AEF=∠GFE，
∴GE=GF，
∴?EGFH是菱形；

（3）解：平行四邊形．
理由：∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AHF=∠CFH，
由折疊的性質(zhì)得：∠GHF=$\frac{1}{2}$∠AHF，∠EFH=$\frac{1}{2}$∠CFH，
∴∠GHF=∠EFH，
∴GH∥EF，
∵EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定以及折疊的性質(zhì)．注意掌握折疊前后圖形的對應關系是解此題的關鍵．