Question

【題目】如圖①，已知二次函數的解析式是y＝ax2＋bx(a>0)，頂點為A(1，－1)．

(1)a＝ ；

(2)若點P在對稱軸右側的二次函數圖像上運動，連結OP，交對稱軸于點B，點B關于頂點A的對稱點為C，連接PC、OC，求證：∠PCB＝∠OCB；

(3)如圖②，將拋物線沿直線y＝－x作n次平移(n為正整數，n≤12)，頂點分別為A1，A2，…，An，橫坐標依次為1，2，…，n，各拋物線的對稱軸與x軸的交點分別為D1，D2，…，Dn，以線段AnDn為邊向右作正方形AnDnEnFn，是否存在點Fn恰好落在其中的一個拋物線上，若存在，求出所有滿足條件的正方形邊長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）2，6．

【解析】

試題分析：（1）直接利用頂點坐標，進而代入求出即可；

（2）根據題意得出，，進而得出△ODC∽△PHC，求出即可；

（3）由題意得出：A1（1，-1），A2（2，-2），A3（3，-3），…An（n，-n），進而得出F1（2，-1），F2（4，-2），F3（6，-3），…Fn（2n，-n）..，即可分類討論得出n的值．

試題解析：（1）解：∵二次函數的解析式是y=ax2+bx（a＞0），頂點為A（1，-1），

∴，

解得：．

（2）證明：由（1）得，拋物線的解析式為：y=x2-2x，

設P（m，m2-2m），則直線OP的解析式為：y=（m-2）x，

∴B（1，m-2），∴C（1，-m），

過點P作PH⊥CD于點H，則PH=m-1，CH=m2-m，

∴，，

∵∠ODC=∠PHC，

∴△ODC∽△PHC，

∴∠PCB=∠OCB；

（3）解：由題意得出：A1（1，-1），A2（2，-2），A3（3，-3），…An（n，-n），

∴F1（2，-1），F2（4，-2），F3（6，-3），…Fn（2n，-n）…

若Fn恰好落在其中的第m個拋物線上（m為正整數，m≤12），

則該拋物線解析式為：y=（x-m）2-m，

將Fn代入得：-n=（2n-m）2-m，

即（2n-m）2=m-n，

∴m-n是一個平方數，只能是0，1，4，9，

當m-n=0時，2n-m=0，∴m=n=0（舍去）；

當m-n=1時，2n-m=1或-1，∴n=2或0（舍去）；

當m-n=4時，2n-m=2或-2，∴n=2或6；

當m-n=9時，2n-m=3或-3，∴n=6（舍去）或12（舍去）．

綜上所述，正方形邊長n的值可以是2，6．