已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑為2
2
的⊙O′與y軸交于A、B兩點(diǎn),與直線精英家教網(wǎng)OC相切于點(diǎn)C,∠BOC=45°,BC⊥OC,垂足為C.
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)在
BC
上取一點(diǎn)D,連接DA、DB、DC,DA交BC于點(diǎn)E.求證:BD•CD=AD•ED;
(3)延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)G,求經(jīng)過O、C、G三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式.
分析:(1)由于OC是圓的切線,而BC⊥OC,那么BC必過圓心,也就是說BC為圓O′的直徑,那么∠CAB=90°,即三角形BAC是直角三角形,又由∠BOC=45°,那么∠CBO=45°,因此三角形BAC是等腰直角三角形.
(2)本題其實(shí)證的是三角形ADC和BDE相似,這兩個(gè)三角形中,根據(jù)圓周角定理可得出∠CAD=∠DBE,根據(jù)(1)的結(jié)論又能得出弧AC=弧AB,那么可得出∠ADC=∠BDE,由此可得出兩三角形相似,也就能得出本題要證得結(jié)論.
(3)已知了半徑的長(zhǎng),就能求出CA,OA的長(zhǎng),也就知道了C的坐標(biāo),知道OA,CA,AB的長(zhǎng)也就能求出OB的長(zhǎng),又因?yàn)槿切蜲GB也是個(gè)等腰直角三角形因此OG=OB,可得出G的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可得出過O,C,G的二次函數(shù)的解析式.
解答:(1)解:∵OC與⊙O'相切
∴O'C⊥OC
又∵BC⊥OC
∴O'在BC上,即BC為⊙O'的直徑
∴∠CAB=90°
∴CA⊥BA
∵∠BOC=45°
∴△BOC為等腰直角三角形
∴A為OB的中點(diǎn),CD=
1
2
OB=AB
∴△ABC是等腰直角三角形.

(2)證明:∵AC=AB
AC
=
AB

∴∠ADC=∠ADB
又∵∠CAD=∠CBD
∴△ADC∽△BDE
AD
BD
=
DC
DE

即BD•CD=AD•ED.

(3)解:在Rt△BOC中
∵⊙O′的半徑為2
2

∴BC=4
2

∵∠BOC=45°
∴OB=
2
•BC=8,CA=OA=AB=
1
2
OB=4
∵CA∥x軸,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-4)
∴BC=CG
∴AC為△BGO的中位線
∴OG=2AC=8
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為(-8,0)
設(shè)過O、C、G三點(diǎn)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c,
由已知,函數(shù)圖象過(0,0),(-4,-4),(-8,0)三點(diǎn),得
c=0
16a-4b=-4
64a-8b=0

解這個(gè)方程組,得
a=
1
4
,b=2,c=0
因此,所求二次函數(shù)是y=
1
4
x2+2x.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí).根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出相關(guān)的線段相等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直y=
3
2
x+b
與雙曲線y=
16
x
相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A,AB、AC分別垂直于x軸、y軸,垂足分別為B、C,已知四邊形ABCD是正方形,求直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式以及它與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,原點(diǎn)O處有一乒乓球發(fā)射器向空中發(fā)射乒乓球,乒乓球飛行路線是一條拋物線,在地面上落點(diǎn)落在X軸上為點(diǎn)B.有人在線段OB上點(diǎn)C(靠點(diǎn)B一側(cè))豎直向上擺放無(wú)蓋的圓柱形桶,試圖讓乒乓球落入桶內(nèi).已知OB=4米,OC=3米,乒乓球飛行最大高度MN=5米,圓柱形桶的直徑為0.5,高為0.3米(乒乓球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)).
(1)求乒乓球飛行路線拋物線的解析式;
(2)如果豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí),乒乓球能不能落入桶內(nèi)?
(3)當(dāng)豎直擺放圓柱形桶
8,9,10,11或12
8,9,10,11或12
個(gè)時(shí),乒乓球可以落入桶內(nèi)?(直接寫出滿足條件的一個(gè)答案)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,如圖1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線l1:y=-x+4與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B,與直線l2y=
13
x
相交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖1,平行于y軸的直線x=1交直線l1于點(diǎn)E,交直線l2于點(diǎn)D,平行于y軸的直x=a交直線l1于點(diǎn)M,交直線l2于點(diǎn)N,若MN=2ED,求a的值;
(3)如圖2,點(diǎn)P是第四象限內(nèi)一點(diǎn),且∠BPO=135°,連接AP,探究AP與BP之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012屆重慶萬(wàn)州區(qū)巖口復(fù)興學(xué)校九年級(jí)下第一次月考數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題

已知:直角梯形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖,若AC∥OB,OC平分∠AOB,CB⊥x軸于B,點(diǎn)A坐標(biāo)為(3 ,4). 點(diǎn)P從原點(diǎn)O開始以2個(gè)單位/秒速度沿x軸正向運(yùn)動(dòng) ;同時(shí),一條平行于x軸的直線從AC開始以1個(gè)單位/秒速度豎直向下運(yùn)動(dòng) ,交OA于點(diǎn)D,交OC于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)E. 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),直線也隨即停止運(yùn)動(dòng).

(1)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)在這一運(yùn)動(dòng)過程中, 四邊形OPEM是什么四邊形?請(qǐng)說明理由。若
用y表示四邊形OPEM的面積 ,直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及t的
范圍;并求出當(dāng)四邊形OPEM的面積y的最大值?
(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某個(gè)t值,使⊿MPB為等腰三角形?
若有,請(qǐng)求出所有滿足要求的t值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)模擬試卷(十一)(解析版) 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,原點(diǎn)O處有一乒乓球發(fā)射器向空中發(fā)射乒乓球,乒乓球飛行路線是一條拋物線,在地面上落點(diǎn)落在X軸上為點(diǎn)B.有人在線段OB上點(diǎn)C(靠點(diǎn)B一側(cè))豎直向上擺放無(wú)蓋的圓柱形桶,試圖讓乒乓球落入桶內(nèi).已知OB=4米,OC=3米,乒乓球飛行最大高度MN=5米,圓柱形桶的直徑為0.5,高為0.3米(乒乓球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)).
(1)求乒乓球飛行路線拋物線的解析式;
(2)如果豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí),乒乓球能不能落入桶內(nèi)?
(3)當(dāng)豎直擺放圓柱形桶______個(gè)時(shí),乒乓球可以落入桶內(nèi)?(直接寫出滿足條件的一個(gè)答案)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案