Question

（1997•陜西）如圖所示的拋物線是把y=-x²經(jīng)過平移而得到的．這時(shí)拋物線過原點(diǎn)O和x軸正向上一點(diǎn)A，頂點(diǎn)為P；
①當(dāng)∠OPA=90°時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及解析表達(dá)式；
②求如圖所示的拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在-

1

2

≤x≤

1

2

時(shí)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�由y=-x²平移得到，所以設(shè)y=-（x-a）²+b（a＞0），再把（0，0）代入可得到b=a²，故y=-（x-a）²+a²，過P作PM⊥x軸于M，OM=a，PM=a²，再根據(jù)P是拋物線頂點(diǎn)可知PO=PA，故可得出OM=AM，PM=

OA

2

=OM，由此可得出a的值，進(jìn)而得出其拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與解析式可知，拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在-

1

2

≤x≤

1

2

時(shí)，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y有最大值；當(dāng)x=-

1

2

時(shí)y有最小值．

解答：解：（1）∵拋物線由y=-x²平移得到，
∴設(shè)y=-（x-a）²+b（a＞0）
∵拋物線過（0，0），代入得0=-a²+b，
∴b=a²，y=-（x-a）²+a²
過P作PM⊥x軸于M，OM=a，PM=a²
∵P是拋物線頂點(diǎn)，
∴PO=PA，
∴OM=AM，PM=

OA

2

=OM，
∴a²=a，
∴a=1或a=0（舍去），
∴P（1，1），拋物線的解析式為y=-（x-1）²+1=-x²+2x；

（2）∵由（1）可知拋物線的頂點(diǎn)P（1，1），解析式為y=-（x-1）²+1=-x²+2x，
∴拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在-

1

2

≤x≤

1

2

時(shí)，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y_最大=-

1

4

+2×

1

2

=

3

4

；
當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，y_最小=

1

4

-2×

1

2

=-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．