Question

如圖，△ABC是等邊三角形紙片，沿EF翻折，使點A落在BC邊上的D點，設(shè)∠AEF=a，AE=x，AF=y．
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：△BDE∽△CFD；
（3）寫出x，y之間的等量關(guān)系，并證明這個等量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得，∠AEF=∠DEF=a，∠DEB=180°-2a，∠BDE=2a-60°，即可求得30°＜a＜90°；
（2）由兩個對應(yīng)角相等則三角形相似，即可證得；
（3）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得．

解答：結(jié)：（1）∵∠AEF=a，∴∠DEF=a，∠DEB=180°-2a，∠BDE=2a-60°
得

180°-2a＞0 2a-60°＞0

解得：30°＜a＜90°

（2）∠B=∠C=60°，∠BDE=∠CFD=2a-60°，∴△BDE∽△CFD．

（3）由△BDE∽△CFD得：

BD

CF

=

DE

FD

=

BE

CD

，
代入得：

BD

1-y

=

x

y

=

1-x

CD

∴BD=

x(1-y)

y

，CD=

y(1-x)

x

．
由BD+CD=1得：

x(1-y)

y

+

y(1-x)

x

=1

點評：此題考查了對稱圖形的性質(zhì)，還考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．