Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣x+2的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與函數(shù)y＝x+b的圖象交于點(diǎn)C（﹣2，m）．

（1）求m和b的值；

（2）函數(shù)y＝x+b的圖象與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A（到A停止運(yùn)動(dòng)）．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①當(dāng)△ACE的面積為12時(shí)，求t的值；

②在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在t的值，使△ACE為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）m的值是4，b的值是；（2）①當(dāng)△ACE的面積為12時(shí)，t的值是5；②存在，當(dāng)t＝4或t＝6時(shí)，△ACE是直角三角形．

【解析】

（1）將點(diǎn)C坐標(biāo)代入直線y＝﹣x+2中即可求出m的值，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝x+b中即可求出b的值；

（2）①根據(jù)兩個(gè)一次函數(shù)的解析式分別求出點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，從而求出AD，由題意可得，DE＝2t，則AE＝16﹣2t，然后利用三角形的面積公式列出方程即可求出t的值；

②根據(jù)直角三角形直角頂點(diǎn)的情況分類(lèi)討論：當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)，AC⊥CE，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出AC，證出△ACE為等腰直角三角形即可求出AE然后列方程即可求出t；當(dāng)∠CEA＝90°時(shí)，證出△ACE為等腰直角三角形即可求出AE然后列方程即可求出t．

（1）∵點(diǎn)C（﹣2，m）在直線y＝﹣x+2上，

∴m＝﹣（﹣2）+2＝2+2＝4，

∴點(diǎn)C（﹣2，4），

∵函數(shù)y＝x+b的圖象過(guò)點(diǎn)C（﹣2，4），

∴4＝×（﹣2）+b，得b＝，

即m的值是4，b的值是；

（2）①∵函數(shù)y＝﹣x+2的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，

∴點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），

∵函數(shù)y＝x+的圖象與x軸交于點(diǎn)D，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣14，0），

∴AD＝16，

由題意可得，DE＝2t，則AE＝16﹣2t，

∵△ACE的面積為12，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，4），

∴＝12，

解得，t＝5

即當(dāng)△ACE的面積為12時(shí)，t的值是5；

②當(dāng)t＝4或t＝6時(shí)，△ACE是直角三角形，

理由：當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)，AC⊥CE，

∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（﹣2，4），點(diǎn)D（﹣14，0），

∴OA＝OB，AC＝4，

∴∠BAO＝45°，

∴∠CAE＝45°，

∴∠CEA＝45°，

∴CA＝CE＝4，

∴△ACE為等腰直角三角形

∴AE＝8，

∵AE＝16﹣2t，

∴8＝16﹣2t，

解得，t＝4；

當(dāng)∠CEA＝90°時(shí)，

∵AC＝4，∠CAE＝45°，

∴△ACE為等腰直角三角形

∴AE＝4，

∵AE＝16﹣2t，

∴4＝16﹣2t，

解得，t＝6；

由上可得，當(dāng)t＝4或t＝6時(shí)，△ACE是直角三角形．