Question

10．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若AE=CF，試證明DE=DF；
（2）在點(diǎn)E、點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若DE⊥DF，試判斷DE與DF是否一定相等？并加以說(shuō)明．
（3）在（2）的條件下，若AC=2，四邊形ECFD的面積是一個(gè)定值嗎？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，若是，請(qǐng)直接寫出它的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用SAS判定△DAE≌△DCF，即可得出對(duì)應(yīng)邊DE=DF；
（2）根據(jù)已知條件，運(yùn)用ASA判定△DAE≌△DCF，即可得出DE與DF一定相等；
（3）根據(jù)△DAE≌△DCF，可得△ADE的面積=△DCF的面積，進(jìn)而得出四邊形ECFD的面積=△DCF的面積+△CDE的面積=△ADE的面積+△CDE的面積=△ACD的面積，再根據(jù)△ACD的面積=$\frac{1}{2}$×△ABC的面積=1，即可得出四邊形 ECFD的面積是一定值1．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，
∴∠A=∠DCF=45°，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE=DF；

（2）DE與DF一定相等．
證明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，
∴∠A=∠DCF=45°，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴DE=DF；

（3）四邊形 ECFD的面積是一定值1．
由（2）可得，△DAE≌△DCF，
∴△ADE的面積=△DCF的面積，
∴四邊形ECFD的面積=△DCF的面積+△CDE的面積=△ADE的面積+△CDE的面積=△ACD的面積，
又∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
又∵D是AB的中點(diǎn)，
∴△ACD的面積=$\frac{1}{2}$×△ABC的面積=1，
即四邊形ECFD的面積=1．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．