Question

如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（

1

2

，

5

2

）和B（4，m），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線解析式，求出m的值，然后把A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求出a、b，即可求得解析式；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n+2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n²-8n+6），表示出PC的長(zhǎng)度，然后利用配方法求出二次函數(shù)的最大值，并求出此時(shí)n的值．

解答：解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，
∴m=6，即B（4，6），
∵A（

1

2

，

5

2

）和B（4，6）在拋物線y=ax²+bx+6上，
∴

( 1 2 )2a+ 1 2 b+6= 5 2 16a+4b+6=6

，
解得：

a=2 b=-8

，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=2x²-8x+6；

（2）存在．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n+2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，2n²-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n²-8n+6）=-2n²+9n-4=-2（n-

9

4

）²+

49

8

，
∵-2＜0，
∴開口向下，有最大值，
∴當(dāng)n=

9

4

時(shí)，線段PC有最大值

49

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，配方法求最值等知識(shí)點(diǎn)，解答本題案的關(guān)鍵是根據(jù)解析式設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)C的坐標(biāo)，列出PC的代數(shù)式．