Question

把兩塊邊長(zhǎng)為4的等邊三角板ABC和DEF先如圖1放置，使三角板DEF的頂點(diǎn)D與三角板ABC的AC邊的中點(diǎn)重合，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，射線DE與射線AB相交于點(diǎn)M，接著把三角形板ABC固定不動(dòng)，將三角形板DEF由圖11-1所示的位置繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)N（如圖2示）．
（1）當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，求AM•CN的值；
（2）當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，設(shè)AM=x，兩塊三角形板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式并求定義域；
（3）當(dāng)BM=2時(shí)，求兩塊三角形板重疊部分的面積．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△DEF都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∴∠A=∠C=∠EDF=60°，
∴∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，
∴∠AMD=∠NDC，
∴△AMD∽△CDN，
∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，
而D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴DC=AD=2，
∴AM•CN=4；
（2）分別過(guò)D點(diǎn)作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，連DB，如圖
∵∠A=∠C=60°，DA=DC=2，
∴AP=CQ=1，
∴DP=DQ=，
AM=x，則CN=，MB=4-x，BN=4-，
∵BD為等邊三角形的高，
∴點(diǎn)D到EF的距離為DB，
∴兩塊三角形板重疊部分為四邊形DMBN，
∴y=S_△DBM+S_△DBN=••（4-x）+••（4-）
=4-x-，
在圖（1）中，AM=1，
∴當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，x的取值范圍為1＜x＜4；
（3）當(dāng)M在線段AB上，BM=2時(shí)，x=4-2=2，
即y=4-×2-
=2．
當(dāng)M點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖（備用圖），
過(guò)D作DH∥BC交AB于H，
∴DH=BC=2，BH=2，
∵BM=2，
∴BP=DH=1，
與①一樣可證得△AMD∽△CDN，
∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，
∴6×CN=4，即CN=，
∴PN=4-1-=，
∴S_△DPN=PN•DQ=××=．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=∠EDF=60°，則∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，可得∠AMD=∠NDC，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AMD∽△CDN，有相似的性質(zhì)得到AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，然后把DC=AD=2代入計(jì)算即可；
（2）分別過(guò)D點(diǎn)作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，連DB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠A=∠C=60°，而DA=DC=2，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到AP=CQ=1，DP=DQ=，由AM=x，得CN=，MB=4-x，BN=4-，兩塊三角形板重疊部分為四邊形DMBN，則y=S_△DBM+S_△DBN，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可，易得到當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，x的取值范圍為1＜x＜4；
（3）當(dāng)M在線段AB上，BM=2時(shí)，x=4-2=2，把x=2代入（2）的關(guān)系式中計(jì)算即可．當(dāng)M點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上，過(guò)D作DH∥BC交AB于H，BP=DH=1，由△AMD∽△CDN，則AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，可計(jì)算出CN，然后根據(jù)三角形的面積公式可計(jì)算出S_△DPN，即兩塊三角形板重疊部分的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形的面積公式．