Question

已知拋物線C₁與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為交于（-4，0），對稱軸為x=-1.5，并過點(diǎn)（-1，6），
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）求出與拋物線C₁關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線C₂的解析式，并在C₁所在的平面直角坐標(biāo)系中畫出C₂的圖象；
（3）在（2）的條件下，拋物線C₁與拋物線C₂與相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），
①求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②點(diǎn)P在拋物線C₁上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)Q在拋物線C₂上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間、當(dāng)PQ∥y軸時(shí)，求PQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸，可求得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可．
（2）將C₁的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，若C₁、C₂關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)也關(guān)于原點(diǎn)對稱，而二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，可據(jù)此求出C₂的解析式，進(jìn)而畫出它的圖象．
（3）①聯(lián)立拋物線C₁、C₂的解析式，即可求得A、B的坐標(biāo)；
②設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)拋物線的解析式，可得到P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得到關(guān)于PQ的長和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得PQ的最大長度．
解答：解：（1）∵拋物線C₁交x軸于（-4，0），對稱軸為x=-1.5，
∴拋物線C₁與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0）；
設(shè)C₁的解析式為：y=a（x+4）（x-1），則有：
a（-1+4）（-1-1）=6，
解得a=-1，
∴y=-（x+4）（x-1），即C₁：y=-x²-3x+4．

（2）由（1）知，拋物線C₁：y=-x²-3x+4=-（x+）²+；
由于C₁、C₂關(guān)于原點(diǎn)對稱，則拋物線C₂：y=（x-）²-，
其圖象如圖所示：

（3）①聯(lián)立拋物線C₁、C₂的解析式，可得：
，
解得，；
故A（-2，6）；B（2，-6）；
②設(shè)P（a，b），則-2≤a≤2，y_p=b=-a²-3a+4，
因?yàn)镻Q∥y軸，
所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a，則y_Q=a²-3a-4，
所以PQ=y_p-y_Q=-2a²+8，
即當(dāng)a=0時(shí)，PQ的最大值為8．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的對稱性、函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的幾何變換以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識，涉及的知識點(diǎn)較多，難度中上．