Question

已知一次函數(shù)y=kx+b與雙曲線y=

4

x

在第一象限交于A、B兩點，A點橫坐標為1，B點橫坐標為4
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）根據圖象指出不等式kx+b＞

4

x

的解集；
（3）點P是x軸正半軸上一點，過P點作x軸的垂線分別交直線和雙曲線于M、N，△OMN的面積為1，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）反比例函數(shù)的解析式已知，把A、B坐標代入就能求得完整的坐標，代入一次函數(shù)解析式即可求得k，b的值；
（2）實際是求一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值時，x的取值．應從兩個函數(shù)的交點入手觀察；
（3）應從兩個交點的橫坐標入手，分三種情況表示出△OMN的面積進行探討．

解答：解：（1）將A點橫坐標為1、B點橫坐標為4分別代入雙曲線y=

4

x

中，
可得A（1，4），B（4，1）；
再將A、B兩點分別代入一次函數(shù)y=kx+b中，
解得：k=-1，b=5；
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-x+5；

（2）從兩個函數(shù)圖象的交點看，x的取值在兩個交點A、B之間時，一次函數(shù)的函數(shù)值才大于反比例函數(shù)的函數(shù)值，
∴1＜x＜4與x＜0；

（3）設點P的坐標為（t，0），分三種情況：
①0＜t＜1時，S=

1

2

t[

4

t

-（-t+5）]=

1

2

t²-

5

2

t+2，
由

1

2

t²-

5

2

t+2=1，解得t=

5± 21

2

（取加號時舍去）；
②1≤t＜4時，S=

1

2

t[（-t+5）-

4

t

]=-

1

2

t²+

5

2

t-2，
由-

1

2

t²+

5

2

t-2=1，解得t=2或3；
③t≥4時，S=

1

2

t[

4

t

-（-t+5）]=

1

2

t²-

5

2

t+2，
由

1

2

t²-

5

2

t+2=1，解得t=

5± 21

2

（取減號時舍去）；
綜上可知，所求點P的坐標為（

5- 21

2

，0）或（2，0）或（3，0）或（

5+ 21

2

，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，求一次函數(shù)的解析式需知道它上面的兩個點的坐標；比較兩個函數(shù)值的大小，應從交點坐標的入手觀察，運用數(shù)形結合與分類討論思想是解題的關鍵．