Question

【題目】如圖,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°，點D在BA的延長線上，連接CD，過點C作CE⊥CD，使CE=CD，連接BE，若點N為BD的中點，連接CN、BE.

（1）求證：AB⊥BE.

（2）求證：AE=2CN.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）證明△DCA與△ECB全等，再利用全等三角形的性質證明即可；

（2）延長CN至點K，使NK=CN，連接DK，利用已知條件證明△DNK≌△BNC，所以可得DK=BC=AC，∠KDC+∠DCB=180°，又因為∠DCK=∠ACE，DK=AC，CD=CE，由三角形的全等可得AE=CK，所以AE=2CN．

證明：（1）∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCA=∠BCE，
在△DCA與△ECB中，

，

∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，∠DAC=∠EBC=135°，
∴∠ABE=∠CBE-∠ABC=135°-45°=90°，
∴AB⊥BE；

(2)延長CN至點K，使NK=CN，連接DK.

∵∠DCA+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠DCB+∠ACE=180°，
∴∠KDN=∠CBN，
∴DK∥BC，
∵在△DNK與△BNC中，

∴△DNK≌△BNC，

∴DK=BC=AC，
∴∠KDC+∠DCB=180°，
∵∠DCK=∠ACE，
又∵DK=AC，CD=CE，
∵△KDC≌△ACE，
∴AE=CK，
∴AE=2CN．