Question

3．在等腰三角形ABC中，當(dāng)頂角BAC等于多少度時(shí)，△ABC能夠被過一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線分割成2個(gè)較小的等腰三角形？請(qǐng)畫出符合條件的△ABC的示意圖，并寫出△ABC各內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

分析 因?yàn)轭}中沒有指明這個(gè)等腰三角形是什么形狀，故應(yīng)該分四種情況進(jìn)行分析，從而得到答案．

解答 解：（1）如圖，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD時(shí)，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
故△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為108°、36°、36°．
（2）如圖，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD時(shí)，
∵AB=AC，AD=BD=CD，
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB
∴∠BAC=2∠B
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°．
故△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為90°、45°、45°
（3）如圖，△ABC中，AB=AC，BD=AD=BC時(shí)，
∵AB=AC，BD=AD=BC，
∴∠B=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C
∵∠BDC=2∠A，
∴∠C=2∠A=∠B，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．
故△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為36°、72°、72°
（4）如圖，△ABC中，AB=AC，BD=AD，CD=BC時(shí)，
假設(shè)∠A=x，AD=BD，
∴∠DBA=x，
∵AB=AC，
∴∠C=$\frac{180-x}{2}$，
∵CD=BC，
∴∠BDC=∠DBC，
∴2x=$\frac{180-x}{2}$-x，解得x=$\frac{180°}{7}$．
∴∠A=$\frac{180°}{7}$．
故△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為$\frac{180°}{7}$、$\frac{540°}{7}$、$\frac{540°}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵．