【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C(0,3),A點在原點的左側(cè),B點的坐標為(3,0).點P是拋物線上一個動點,且在直線BC的上方.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請求出此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.

(3)當點P運動到什么位置時,四邊形 ABPC的面積最大,并求出此時點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

【答案】(1)二次函數(shù)的表達式為y=﹣x2+2x+3;(2)存在點P,使四邊形POP′C為菱形,P點的坐標為(, );(3)P點的坐標為(, ),四邊形ABPC面積的最大值為.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)菱形的對角線互相平分,可得P點的縱坐標,根據(jù)函數(shù)值與自變量的對應關系,可得答案;

(3)根據(jù)面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得m的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系,可得P點坐標.

試題解析:(1)將B、C兩點的坐標代入得 ,解得 ,

所以二次函數(shù)的表達式為y=﹣x2+2x+3;

(2)如圖,存在點P,使四邊形POP′C為菱形.

設P點坐標為(x,﹣x2+2x+3),PP′交CO于E,

若四邊形POPC是菱形,則有PC=PO,

連接PP則PE⊥CO于E,

∴OE=CE=,

∴y=,

∴-x2+2x+3=,

解得x1=,x2=(不合題意,舍去),

∴P點的坐標為(, );

(3)如圖1,

,

過點P作y軸的平行線與BC交于點Q,與OB交于點F,設P(x,﹣x2+2x+3)

易得,直線BC的解析式為y=﹣x+3.

則Q點的坐標為(x,﹣x+3).

PQ=﹣x2+3x.

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=ABOC+QPBF+QPOF=×4×3+(﹣x2+3x)×3=﹣(x﹣2+

當x=時,四邊形ABPC的面積最大,

此時P點的坐標為( ),四邊形ABPC面積的最大值為

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