Question

【題目】課題學(xué)習(xí)

問(wèn)題背景1 甲、乙、丙三名同學(xué)探索課本上一道題：如圖1，E是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

（1）①在圖1中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；②圖1中，與線段AE垂直的線段是 ，說(shuō)明你的理由；

問(wèn)題背景2 在正方形ABCD中，∠EAF=45°，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為DC上一點(diǎn)，∠EAF的兩邊AE、AF分別與直線BD交于點(diǎn)M、N．連接EF。繼續(xù)探索時(shí)，

甲發(fā)現(xiàn)：線段BF，EF，DE之間存在著關(guān)系式EF=BF+DE；

乙發(fā)現(xiàn)：△CEF的周長(zhǎng)是一個(gè)恒定不變的值；

丙發(fā)現(xiàn)：線段BN，MN，DM之間存在著關(guān)系式BN2+DM2=MN2

（2）請(qǐng)你對(duì)甲、乙、兩三人中一個(gè)結(jié)論進(jìn)行研究，作出判斷，并說(shuō)明你的理由。

Answer 1

【答案】(1) ①作圖見(jiàn)解析;②AK⊥AE,理由見(jiàn)解析;(2) 甲、乙、丙三名同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的.理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析: （1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)前后所構(gòu)成的兩圖形全等畫出圖形即可；

（2）①選擇甲，延長(zhǎng)CB到K，使BK=DE，連AK，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AKB≌△AED，可得出∠KAF=∠FAE，進(jìn)而可得出△AKF≌△AEF，由全等三角形的性質(zhì)及BK=DE可得出EF=BF+DE；

②選擇乙，延長(zhǎng)CB到K，使BK=DE，連AK，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AKB≌△AED，由全等三角形的性質(zhì)可得到△AKF≌△AEF，再根據(jù)BK=DE即可得出△CEF周長(zhǎng)為定值；

③選擇丙，在AK上截取AG=AM，連接BG，GN，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABG≌△ADM，△GAN≌△NAM，再由勾股定理即可得出BN2+DM2=MN2．

試題解析:

畫圖如圖1，

延長(zhǎng)CB至K，使BK=DE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB,∠ADE=∠ABK=∠BAD=90，

∴△ADE≌△ABK，

∴∠DAE=∠BAK，

∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAK+∠BAE=∠BAD=90，

∴AK⊥AE.

故答案為AK⊥AE.

(2)選擇甲發(fā)現(xiàn)：

證明：如圖2，

延長(zhǎng)CB到K,使BK=DE,連AK,則△AKB≌△AED，

∵∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠KAF=45°，

∴∠KAF=∠FAE.

∵AK=AE，AF=AF，

∴△AKF≌△AEF.

∴KF=EF.

又∵BK=DE，

∴EF=BF+DE

選擇乙發(fā)現(xiàn)：

證明：如圖2，

延長(zhǎng)CB到K,使BK=DE,連AK,則△AKB≌△AED

∵∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠KAF=45°，

∴∠KAF=∠FAE.

∵AK=AE，AF=AF，

∴△AKF≌△AEF.

∴KF=EF.

又∵BK=DE，

∴EF=BF+DE

△CEF周長(zhǎng)=CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE)=(CF+BF)+(CE+DE)=BC+DC=2a(定值)

選擇丙發(fā)現(xiàn)：

證明：如圖3，

在AK上截取AG=AM，連接BG，GN.

∵AG=AM，AB=AD，∠KAB=∠EAD，

∴△ABG≌△ADM，

∴BG=DM,∠ABG=∠ADB=45°.

又∵∠ABD=45°，

∴∠GBD=90°.

∵∠BAF+∠DAE=45°，

∴∠KAF=45°，

∴∠KAF=∠FAE.

又∵AG=AM，AN=AN，

∴△GAN≌△NAM.

∴NG=MN，

∵∠GBD=90°，

∴BG +BN =NG ，

∴BN +DM =MN .

綜上所述：甲、乙、丙三名同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的。

點(diǎn)睛:本題考查的是圖形的旋轉(zhuǎn),通過(guò)旋轉(zhuǎn),利用全等三角形,發(fā)現(xiàn)邊的關(guān)系,再利用直角三角形的勾股定理找到三條線段的平方關(guān)系,利用構(gòu)造法證明△AKF≌△AEF, △GAN≌△NAM是解答此題的關(guān)鍵.