如圖所示,AB為⊙O的直徑,D為
BC
中點(diǎn),連接BC交AD于E,DG⊥AB于G.
(1)求證:BD2=AD•DE;
(2)如果tanA=
3
4
,DG=8,求DE的長.
分析:(1)連接BD,先由D為
BC
中點(diǎn),根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系及圓周角定理得出
BD
=
CD
,∠DAB=∠DBE,又∠ADB公共,根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△BDE∽△ADB,然后由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出BD:AD=DE:BD,即為BD2=AD•DE;
(2)先在Rt△ADG中,由tanA=
3
4
,DG=8,求出AD=
40
3
,然后解Rt△ADB,求出BD=10,再根據(jù)(1)的結(jié)論BD2=AD•DE,即可求出DE的長.
解答:(1)證明:連接BD.
∵D為
BC
中點(diǎn),
BD
=
CD

∴∠DAB=∠DBE,
又∵∠BDE=∠ADB,
∴△BDE∽△ADB,
∴BD:AD=DE:BD,
∴BD2=AD•DE;

(2)解:∵DG⊥AB于G,
∴∠AGD=90°.
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°.
在Rt△ADG中,∵tanA=
3
4
,∴
DG
AG
=
3
4

設(shè)DG=3k,則AG=4k,AD=5k,∴
DG
AD
=
3
5

又∵DG=8,∴AD=
40
3

在Rt△ADB中,tanA=
BD
AD
=
3
4
,∴BD=
3
4
AD=10.
∵BD2=AD•DE,
∴DE=
BD2
AD
=
102
40
3
=
15
2
點(diǎn)評:本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解直角三角形,綜合性較強(qiáng),有一定難度.
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AB
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AE
=2
DE
AE
,
DE
為劣弧)
其中正確結(jié)論有( 。

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5cm
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