Question

新定義：若x₀=ax₀²+bx₀+c成立，則稱點（x₀，x₀）為拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上的不動點．設拋物線C的解析式為：y=ax²+（b+1）x+（b-1），（a≠0）
（1）拋物線C過點（0，-3）；如果把拋物線C向左平移個單位后其頂點恰好在y軸上，求拋物線C的解析式及其上的不動點；
（2）對于任意實數(shù)b，實數(shù)a應在什么范圍內，才能使拋物線C上總有兩個不同的不動點？
（3）設a為整數(shù)，且滿足a+b+1=0，若拋物線C與x軸兩交點的橫坐標分別為x₁，x₂，是否存在整數(shù)k，使得 成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得出：
，
解得：，
∴拋物線解析式為：y=x²-x-3，
令x=x²-x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴不動點為：（-1，-1）和（3，3）；

（2）∵拋物線C有兩個不同的動點，
∴x=ax²+（b+1）x+（b-1），
整理得：ax²+bx+（b-1）=0，
∵拋物線C有兩個不同點，
∴△＞0，
即b²-4a（b-1）＞0，
b²-4ab+4a＞0，
∵b為任意實數(shù)，且使得上式成立；
∴必有（-4a）²-4×1×4a＜0，
整理得：a²-a＜0，
從而，得或，
解得：0＜a＜1，
∴實數(shù)a的取值范圍應為：0＜a＜1；

（3）由a+b+1=0，得b=-a-1代入拋物線C，得y=ax²-ax-（a+2），
∵x₁與x₂是拋物線C與x軸的交點橫坐標，
∴△=a²+4a（a+2）＞0，
解得：a＞0或a＜-，
由根與系數(shù)的關系得：
x₁+x₂=1，x₁•x₂=-，
∴k=3++=3+=（a＞0或a＜-，且a為整數(shù)）
要使k為整數(shù)，取a=-4，-3，-1，0，其中a=-1，0不合題意舍去；
∴存在，．
分析：（1）根據(jù)已知得出b-1=-3，-=，即可得出a，b的值，進而得出圖象上的不動點；
（2）根據(jù)拋物線C有兩個不同的動點，得出x=ax²+（b+1）x+（b-1），再利用拋物線C有兩個不同點，得出△＞0，即b²-4a（b-1）＞0，
由b為任意實數(shù)，且使得上式成立；則必有（-4a）²-4×1×4a＜0，進而得出a的取值范圍；
（3）首先根據(jù)x₁與x₂是拋物線C與x軸的交點橫坐標，得出△=a²+4a（a+2）＞0，再利用根據(jù)與系數(shù)關系，求出a的取值即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及根與系數(shù)的關系和不等式組的解法、根的判別式可計算出等知識，正確得出不等式解集是解題關鍵．