Question

【題目】問題情境：

我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．

已知三角板中，，長方形中，．

問題初探：

（1）如圖（1），若將三角板的頂點(diǎn)放在長方形的邊上，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，求的度數(shù)．

過點(diǎn)作，則有，從而得，從而可以求得的度數(shù)．

由分析得，請你直接寫出：的度數(shù)為____________，的度數(shù)為___________．

類比再探：

（2）若將三角板按圖（2）所示方式擺放（與不垂直），請你猜想寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由見解析

【解析】

（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度數(shù)，求∠EMC度數(shù)轉(zhuǎn)化到∠MCH度數(shù)；
（2）過點(diǎn)C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF與∠EMC轉(zhuǎn)化到∠ACH和∠MCH中，從而發(fā)現(xiàn)∠CAF、∠EMC與∠ACB的數(shù)量關(guān)系．

（1）過點(diǎn)C作CH∥GF，則有CH∥DE，
所以∠CAF=∠HCA，∠EMC=∠MCH，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案為30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
過點(diǎn)C作CH∥GF，則∠CAF=∠ACH．
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE．
∴∠EMC=∠HCM．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．