精英家教網已知:如圖,AB為⊙O的直徑,AO為⊙O'的直徑,⊙O的弦AC交⊙O'于D點,OC和BD相交于E點,AB=4,∠CAB=30°.求CE、DE的長.
分析:連接OD、BC,根據圓周角定理知OD、BC都與AC垂直,因此OD∥BC,而AO=OB,即OD是△ABC的中位線,因此OD:BC=1:2,易證得△OED∽△CEB,根據OD、BC的比例關系知:兩個三角形的相似比為1:2,可得EC=2OE、BE=2DE,欲求CE、DE,必須先求出OC、BD的長;已知了⊙O的直徑AB的長,即可得到半徑OC的長,根據CE、OC的比例關系即可求出CE的值;在Rt△OAD和Rt△ABC中,通過解直角三角形,可求出AD、BC的長,由于OD⊥AC,根據垂徑定理可得到CD的長,那么在Rt△BCD中,通過勾股定理即可求得BD的值,根據DE、BD的比例關系,可得到DE的長,由此得解.
解答:精英家教網解法一:連接OD、BC,(1分)
∵AO、AB分別是⊙O'和⊙O的直徑,
∴∠ADO=∠ACB=90°,且AD=DC,(2分)
∴OD∥BC,BC=2OD,(3分)
∴△OED∽△CEB,
DE
BE
=
OE
CE
=
OD
BC
=
1
2
,(5分)
DE
BD
=
1
3
,CE=
2
3
OC=
1
3
AB=
4
3
,(6分)
在Rt△AOD和Rt△ABC中,∠OAD=30°,AB=4,
∴BC=2OD=
1
2
AB=2,
AC=AB•cos30°=2
3
,(8分)
∴AD=CD=
3
,
又在Rt△BDC中,BD=
BC2+CD2
=
7
,
∴DE=
1
3
BD=
7
3
.(9分)

解法二:同解法一證得AD=DC,(2分)精英家教網
可再連接O'D,則O'D∥OC,(3分)
BE
DE
=
BO
00
=2
,
OE
OD
=
BO
BO
=
2
3
,(4分)
∴DE=
1
3
BD,OE=
2
3
O′D=
2
3
,(6分)
以下同解法一.
點評:此題主要考查了圓周角定理、三角形中位線定理、解直角三角形以及相似三角形的性質等知識,能夠得到DE、BE以及CE、OE的比例關系是解答此題的關鍵.
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=
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