Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，線段BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E、P為線段BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作PF∥y軸交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)DF．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求此拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

（2）求PF的長度，用含m的代數(shù)式表示．

（3）當(dāng)四邊形PEDF為平行四邊形時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）-m2+3m．（3）2.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)之間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較的縱坐標(biāo)，可得答案；

（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)之間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較的縱坐標(biāo)，可得DE的長，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值．

試題解析：（1）∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0）在拋物線y=-x2+bx+c上，

∴，解得，

此拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x2+2x+3；

（2）∵此拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x2+2x+3，

∴C（0，3）．

設(shè)BC所在的直線的函數(shù)解析式為y=kx+b，將B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，解得，

即BC的函數(shù)解析式為y=-x+3．

由P在BC上，F(xiàn)在拋物線上，得

P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m2+2m+3）．

PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m．

（3）如圖

，

∵此拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x2+2x+3，

∴D（1，4）．

∵線段BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，

當(dāng)x=1時，y=-x+3=2，

∴E（1，2），

∴DE=4-2=2．

由四邊形PEDF為平行四邊形，得

PF=DE，即-m2+3m=2，

解得m1=1，m2=2．

當(dāng)m=1時，線段PF與DE重合，m=1（不符合題意，舍）．

當(dāng)m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．