Question

如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿直線向點(diǎn)移動(dòng)。同時(shí)，將直線以每秒個(gè)單位長度的速度向上平移，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒。

⑴證明：在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形總是平行四邊形；

⑵當(dāng)取何值時(shí)，四邊形為菱形？請指出此時(shí)以點(diǎn)為圓心、長為半徑的圓與直線的位置關(guān)系并說明理由。

Answer 1

解：⑴∵直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)

∴直線的解析式為，即

∵將直線以每秒個(gè)單位長度的速度向上平移秒得到直線

∴，∴，∴直線的解析式為

∵在直線中，點(diǎn)在軸上，∴令，則，∴，

∴在中，

∵點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿直線向點(diǎn)移動(dòng)秒

∴，∴，又∵，∴，

∵，，∴在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形總是平行四邊形；

⑵欲使四邊形為菱形，只需在中滿足條件，即，解得

∴當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；

此時(shí)以點(diǎn)為圓心、長為半徑的圓與直線相切，理由如下：

∵，∴，∴

∵，，∴，，∴在中，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，則

∵在和中，且，∴∽

∴，即，∴，∴點(diǎn)到直線的距離等于的半徑

∴以點(diǎn)為圓心、長為半徑的圓與直線相切。

另解：（在證明與直線相切時(shí)，也可利用等積法求得點(diǎn)到直線的距離。）

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，連結(jié)，

∵且、

∴，解得，∴點(diǎn)到直線的距離與的半徑相等，即

∴以點(diǎn)為圓心、長為半徑的與直線相切。

再解：（巧用“菱形對角線的性質(zhì)”和“角平分線性質(zhì)定理”）

連結(jié)，則是菱形的對角線，∴平分

∵，∴是點(diǎn)到直線的距離，

∴點(diǎn)到直線的距離＝點(diǎn)到直線的距離

∴以點(diǎn)為圓心、長為半徑的圓與直線相切。