Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC、DE相交于點O．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形．
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE對角線的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AB=DE，

又∵AB=AC，

∴DE=AC．

∵AB=AC，D為BC中點，

∴∠ADC=90°，

又∵D為BC中點，

∴CD=BD．

∴CD∥AE，CD=AE．

∴四邊形AECD是平行四邊形，

又∴∠ADC=90°，

∴四邊形ADCE是矩形．

（2）解：∵四邊形ADCE是矩形，

∴AO=EO，

∴△AOE為等邊三角形，

∴AO=4，

故AC=8．

【解析】（1）根據(jù)四邊形ABDE是平行四邊形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四邊形ADCE是矩形．（2）根據(jù)∠AOE=60°和矩形的對角線相等且互相平分，得出△AOE為等邊三角形，即可求出AO的長，從而得到矩形ADCE對角線的長．
【考點精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分．