Question

如圖，已知CD是直角△ABC斜邊上的中線(xiàn)，DF交AC于E，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F，且CD²=DE•DF，求證：
（1）DF⊥AB；
（2）BC•BF=2BD²．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）將等積式CD²=DE•DF，轉(zhuǎn)化為比例式CD：DF=DE：DC，由∠CDE=∠FDC，得到△CDE∽△FDC，進(jìn)而得到∠DCE=∠DFC；這是解決該題的關(guān)鍵結(jié)論；證明∠F=∠A；即可解決問(wèn)題．
（2）由（1）知∠A=∠F，∠B=∠B，得到△ABC∽△FBD，列出比例式即可解決問(wèn)題．

解答：證明：（1）∵CD²=DE•DF，
而∠CDE=∠FDC，
∴△CDE∽△FDC，
∴∠DCE=∠DFC；
∵CD是直角△ABC斜邊AB的中線(xiàn)，
∴DC=DA=

1

2

AB，
∴∠DCE=∠A，
∴∠F=∠A；
∴∠DCE=∠DFC；
∵∠A+∠B=90°，
∴∠F+∠B=90°，
∴∠BDF=180°-90°=90°，
即DF⊥AB．
（2）∵∠A=∠F，∠B=∠B，
∴△ABC∽△FBD，
∴BC：BD=AB：BF，即BC•BF=BD•AB，
而AB=2BD，故BC•BF=2BD²．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是深入觀察圖形、大膽猜測(cè)推理、科學(xué)求解論證；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．