Question

【題目】如圖1，，,．

（1）求的度數(shù)的大小;

（2）如圖2，若連接，請(qǐng)判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖2，根據(jù)（2）問的條件，連接與直線交于點(diǎn)，若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）的度數(shù)為45°；（2），見解析；（3）．

【解析】

（1）連接AB，過D作DT∥AE，則DT∥BF，由直角三角形的性質(zhì)得出∠CAB+∠CBA=90°，由平行線的性質(zhì)得出∠BAE+∠ABF=180°，得出∠CAE+∠CBF=90°，由角平分線得出∠CAD=∠EAD，∠CBD=∠FBD，證出∠EAD+∠FBD=45°，由平行線的性質(zhì)得出∠TDA=∠EAD，∠TDB=∠FBD，得出∠TDA+∠TDB=45°即可；
（2）證明△ACD≌△BCD得出∠CDA=∠CDB，證出∠DAC=67.5°-45°=22.5°，進(jìn)一步得出∠CDA=∠EAD，即可得出結(jié)論；
（3）證明△AGC是等腰直角三角形，得出CG=AG=3，由三角形面積公式即可得出結(jié)果．

（1）連接AB，過D作DT∥AE，則DT∥BF，如圖1所示：

∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AE∥BF，
∴∠BAE+∠ABF=180°，
∴∠CAE+∠CBF=90°，
∵∠AD、BD分別是∠EAC、∠FBC的角平分線，
∴∠CAD=∠EAD，∠CBD=∠FBD，
∵∠CAD+∠EAD+∠CBD+∠FBD=90°，
∴∠EAD+∠FBD=45°，
∵DT∥AE，
∴∠TDA=∠EAD，
∵DT∥BF，
∴∠TDB=∠FBD，
∴∠TDA+∠TDB=45°，
∴∠ADB=45°；
（2）CD∥AE；理由如下：
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠DAC=∠DBC，
在△ACD和△BCD中，

，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠CDA=∠CDB，
∵∠ADB=45°，
∴∠CDA=22.5°，∠BAD=67.5°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∴∠DAC=67.5°-45°=22.5°，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=22.5°，
∴∠CDA=∠EAD，
∴CD∥AE；
（3）∵∠CDA=∠CDB，AD=BD，
∴DG⊥AB，AG=BG=AB=3，
∵∠CAB=45°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∴CG=AG=3，
∴S△ABC=ABCG=×6×3=9．