已知a、b、c是△ABC的三條邊長,若x=-1為關(guān)于x的一元二次方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0的根.
(1)△ABC是等腰三角形嗎?△ABC是等邊三角形嗎?請寫出你的結(jié)論并證明;
(2)若代數(shù)式子
a-2
+
2-a
有意義,且b為方程y2-8y+15=0的根,求△ABC的周長.
分析:(1)根據(jù)方程的解的定義把x=-1代入方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0,可得c=a,根據(jù)一元二次方程的定義可知c≠b,所以△ABC不是等邊三角形是等腰三角形;
(2)根據(jù)二次根式的意義可知,
a-2≥0
2-a≥0
,所以a=2,所以c=a=2,解方程y2-8y+15=0,結(jié)合b<a+c可求得b=3,所以△ABC的周長為7.
解答:解:
(1)△ABC是等腰三角形,△ABC不是等邊三角形;
理由如下:
∵x=-1為方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0的根,
∴(c-b)+2(b-a)+(a-b)=0,
∴c=a,
∵a、b、c是△ABC的三條邊長
∴△ABC為等腰三角形,
∵c-b≠0,
∴c≠b,
∴△ABC不是等邊三角形;

(2)依題意,得
a-2≥0
2-a≥0
,
∴a=2,
∴c=a=2,
解方程y2-8y+15=0得y1=3,y2=5;
∵b為方程y2-8y+15=0的根,且b<a+c,
∴b的值為3,
∴△ABC的周長為7.
點(diǎn)評:主要考查了一元二次方程解的定義,等腰三角形的判定和二次根式的意義;要會(huì)利用方程的解和幾何圖形結(jié)合起來,利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題.
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