Question

（2003•荊州）已知：關(guān)于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k-1=0；其中k為實數(shù)．
（1）求證：不論k取什么實數(shù)，方程都有兩個不同的實根；
（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，且滿足2x₁+x₂=3，求實數(shù)k的值；

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程根的判別式就可以證明結(jié)論；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系把所求代數(shù)式化成兩根之和或兩根之積的形式，然后得到關(guān)于k的方程，解方程即可求出k值．
解答：解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k-1=0中，
△=（2k+1）²-4（k-1）=4k²+5＞0，
∴不論k取什么實數(shù)，方程都有兩個不同的實根；

（2）因為x₁+x₂=-2k-1，
所以x₁=3-（x₁+x₂）=3-（-2k-1）=2k+4，
代入2x₁+x₂=3得，
x₂=3-2（2k+4）=-4k-5，
又因為x₁x₂=k-1，
所以（-4k-5）（4+2k）=k-1，
整理得8k²+27k+19=0，
解得k=-1，k=-．
點評：解答此題不僅要會解方程，還要根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系解答，方程有兩個不相等的實數(shù)根即△＞0；另外（2）考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把求k的值的問題轉(zhuǎn)化為解方程得問題．