Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為直角梯形，OA∥BC，BC=14，A（16，0），C（0，2）．
（1）如圖①，若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位的速度由A向O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4）．
①求當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形PQAB為平行四邊形？
②求當(dāng)t為多少時(shí)，直線PQ將梯形OABC分成左右兩部分的比為1：2，并求出此時(shí)直線PQ的解析式．
（2）如圖②，若點(diǎn)P、Q分別是線段BC、AO上的任意兩點(diǎn)（不與線段BC、AO的端點(diǎn)重合），且四邊形OQPC面積為10，試說(shuō)明直線PQ一定經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）①只要PB=AQ就說(shuō)明四邊形PQAB為平行四邊形，由此建立關(guān)于t的方程．
②直線PQ將梯形OABC分成左右兩部分的比為1：2，則梯形COQP的面積是梯形COAB面積的

1

3

．由此建立關(guān)于t的方程．
（2）通過(guò)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，由面積已知可表示Q點(diǎn)坐標(biāo)，這樣可表示出直線PQ的解析式，然后分析解析式找出定點(diǎn)．

解答：解：（1）①CP=2t，則PB=14-2t，AQ=4t因?yàn)镻B∥QA，
所以當(dāng)PB=QA時(shí)四邊形PQAB為平行四邊形，即有14-2t=4t．
所以t=

7

3

s
②直線PQ將梯形OABC分成左右兩部分的比為1：2，則梯形COQP的面積是梯形OABC面積的

1

3

，
∴

1

2

（2t+16-4t）×2=

1

3

×

1

2

(14+16)×2，
即t=3s時(shí)，直線PQ分梯形OABC左右兩部分的比為1：2
此時(shí)P（6，2），Q（4，0）可求得PQ：y=x-4．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2），則CP=m．
∵四邊形OQPC面積為10，
∴

1

2

(m+OQ)•2=10，解得OQ=10-m．
∴Q（10-m，0）．
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，（k≠0），
則

2=mk+b 0=(10-m)k+b

，兩式相加得b=1-5k．
∴直線PQ的解析式可表示為y=kx+1-5k．
由于上式中當(dāng)x=5時(shí)，y=1，與k的取值無(wú)關(guān)，
即不論k取任何滿足條件的值，直線PQ必過(guò)定點(diǎn)（5，1）．

點(diǎn)評(píng)：掌握平行四邊形的判定方法．記住梯形的面積公式．掌握用待定系數(shù)法求直線的解析式．對(duì)于求定點(diǎn)的問(wèn)題可用不定的解得到如上題：y=kx+1-5k，則（x-5）k=y-1，與k的取值無(wú)關(guān)即k有無(wú)數(shù)個(gè)值，所以x-5=0，y-1=0．