如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點(diǎn)O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長(zhǎng)BC至M，使CM=｜CF-EO｜，再以CM、CO為邊作矩形CMNO。
（1）試比較EO、EC的大小，并說(shuō)明理由；
（2）令，請(qǐng)問(wèn)m是否為定值？若是，請(qǐng)求出m的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若CO=1，CE=，Q為AE上一點(diǎn)且QF=，拋物線(xiàn)y=mx2+bx+c經(jīng)過(guò)C、Q兩點(diǎn)，請(qǐng)求出此拋物線(xiàn)的解析式；
（4）在（3）的條件下，若拋物線(xiàn)y=mx2+bx+c與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)P，試問(wèn)在直線(xiàn)BC上是否存在點(diǎn)K，使得以P、B、K為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似？若存在，請(qǐng)求直線(xiàn)KP與y軸的交點(diǎn)T的坐標(biāo)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
解：（1）EO＞EC，
理由如下：由折疊知，EO=EF，
在Rt△EFC中，EF為斜邊，
∴EF＞EC，
故EO＞EC；
（2）m為定值，
∵S四邊形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO―EC）=CO·（EO-EC）
S四邊形CMNO=CM·CO=|CE-EO|·CO=（EO-EC）·CO
∴；
（3）∵CO=1，
∴EF=EO=
∴cos∠FEC=
∴∠FEC=60°，
∴
∴△EFQ為等邊三角形，
作QI⊥EO于I，EI=，IQ=
∴IO=
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為 
∵拋物線(xiàn)y=mx2+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，1），Q，m=1
∴可求得，c=1
∴拋物線(xiàn)解析式為；
（4）由（3），
當(dāng)時(shí)，＜AB
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴BP=AO
若△PBK與△AEF相似，而△AEF≌△AEO，則分情況如下：
①時(shí)，
∴K點(diǎn)坐標(biāo)為或
②時(shí)，
∴K點(diǎn)坐標(biāo)為或
故直線(xiàn)KP與y軸交點(diǎn)T的坐標(biāo)為。
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）觀(guān)察與發(fā)現(xiàn)：將矩形紙片AOCB折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處（如圖），折痕為EF、小明發(fā)現(xiàn)△AEF為等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
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（2）實(shí)踐與應(yīng)用：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以矩形的邊OC、OA為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，若頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，3），請(qǐng)求出折痕EF的長(zhǎng)及EF所在直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以O(shè)B，OA所在直線(xiàn)為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過(guò)F點(diǎn)的反比例函數(shù)y=
kx
（k＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．
（1）求證：AE•AO=BF•BO；
（2）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），求經(jīng)過(guò)O、E、F三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出此時(shí)的OF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•慶元縣模擬）已知：在矩形A0BC中，分別以O(shè)B，OA所在直線(xiàn)為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過(guò)E點(diǎn)的反比例函數(shù)y=
kx
(k＞0)的圖象與BC邊交于點(diǎn)F．
（1）若△OAE、△OBF的面積分別為S1、S2且S1+S2=2，求k的值；
（2）若OB=4，OA=3，記S=S△OEF-S△ECF問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，S有最大值，其最大值為多少？
（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)E，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知，如圖所示，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，矩形各頂點(diǎn)分別為O（0，0），A（0，6），B（8，6），C（8，0）．點(diǎn)D（0，3）在OA上，點(diǎn)E（4，0）在OC上，連接DE，將△DOE繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），得到△D′OE′，連接AD′，當(dāng)∠AD′O=90°時(shí)，
（1）旋轉(zhuǎn)角α等于
60或300
60或300
度；
（2）求D′、E′的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：同步題 題型：解答題

如圖所示，把矩形OABC 放置在直角坐標(biāo)系中，OA=6，OC=8，若將矩形折疊，使點(diǎn)B與O重合，得到折痕EF。  
（1）可以通過(guò)（    ）辦法，使四邊形BEFC變到四邊形AEFO的位置（填“平移”、“旋轉(zhuǎn)”或“翻轉(zhuǎn) ”）；
（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；    
（3）若直線(xiàn)a把矩形OABC的面積分成相等的兩部分，則直線(xiàn)a必經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)是_______。

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