Question

【題目】如圖，在三棱錐ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．
（1）求證：AB1⊥CC1；
（2）若AB1=3 ，D1為線段A1C1上的點，且三棱錐C﹣B1C1D1的體積為 ，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：（1）連AC1，CB1，

∵在三棱錐ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，

∴△ACC1和△B1CC1皆為正三角形．

取CC1中點O，連OA，OB1，則CC1⊥OA，CC1⊥OB1，

∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，

∵AB1平面OAB1，∴CC1⊥AB1

（2）解：（2）∵AC=2 ，AB1=3 ，

∴由（1）知，OA=OB1=3，∴ =AB12，

∴OA⊥OB1，∴OA⊥平面B1C1C，

= = ，

∴ = = ，

∵D1為線段A1C1上的點，且三棱錐C﹣B1C1D1的體積為 ，

∴ = = = ，

∴ = = ．

【解析】（1）證明：連AC1 ， CB1 ， 證明CC1⊥OA，CC1⊥OB1 ， 得到CC1⊥平面OAB1 ， 即可證明CC1⊥AB1 ． （2）推導出OA⊥平面B1C1C，從而 = ，由此能求出 的值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識點，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點才能正確解答此題．