【題目】如圖,已知一個(gè)直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn),連接EF.
(1)圖①,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF,求AE的長;
(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;
②求EF的長;
(3)如圖③,若FE的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)N,CN=1,CE=,求的值.
【答案】(1);(2)①四邊形AEMF為菱形,理由詳見解析;②;(3).
【解析】
試題分析:(1)先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,則S△AEF≌S△DEF,則易得S△ABC=4S△AEF,再證明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=()2,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長;(2)①通過證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形;
②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O,如圖②,設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,先證明△CME∽△CBA得到==,解出x后計(jì)算出CM=,再利用勾股定理計(jì)算出AM,然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算EF;
(3)如圖③,作FH⊥BC于H,先證明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再證明△BFH∽△BAC,利用相似比可計(jì)算出x=,則可計(jì)算出FH和BH,接著利用勾股定理計(jì)算出BF,從而得到AF的長,于是可計(jì)算出的值.
試題解析:(1)如圖①,
∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,
∴S△AEF≌S△DEF,
∵S四邊形ECBF=3S△EDF,
∴S△ABC=4S△AEF,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
∵∠EAF=∠BAC,
∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴=()2,即()2=,
∴AE=;
(2)①四邊形AEMF為菱形.理由如下:
如圖②,∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,
∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,
∵M(jìn)F∥AC,
∴∠AEF=∠MFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=EM=MF=AF,
∴四邊形AEMF為菱形;
②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O,如圖②,
設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,
∵四邊形AEMF為菱形,
∴EM∥AB,
∴△CME∽△CBA,
∴==,即==,解得x=,CM=,
在Rt△ACM中,AM===,
∵S菱形AEMF=EFAM=AECM,
∴EF=2×=;
(3)如圖③,作FH⊥BC于H,
∵EC∥FH,
∴△NCE∽△NFH,
∴CN:NH=CE:FH,即1:NH=:FH,
∴FH:NH=4:7,
設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,
∵FH∥AC,
∴△BFH∽△BAC,
∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x):3=4x:4,解得x=,
∴FH=4x=,BH=4﹣7x=,
在Rt△BFH中,BF==2,
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3,
∴=.
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【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN,使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM、PN分別與OA、OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是 .
(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(5)OGBD=AE2+CF2.
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【題目】下列計(jì)算中,錯(cuò)誤的是( )
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