【題目】如圖,已知一個(gè)直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn),連接EF.

(1)圖①,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF,求AE的長;

(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,且使MF∥CA.

①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;

②求EF的長;

(3)如圖③,若FE的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)N,CN=1,CE=,求的值.

【答案】(1)(2)四邊形AEMF為菱形,理由詳見解析;;(3)

【解析】

試題分析:(1)先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,則S△AEF≌S△DEF,則易得S△ABC=4S△AEF,再證明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=(2,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長;(2)①通過證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形;

②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O,如圖②,設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,先證明△CME∽△CBA得到==,解出x后計(jì)算出CM=,再利用勾股定理計(jì)算出AM,然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算EF;

(3)如圖③,作FH⊥BC于H,先證明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再證明△BFH∽△BAC,利用相似比可計(jì)算出x=,則可計(jì)算出FH和BH,接著利用勾股定理計(jì)算出BF,從而得到AF的長,于是可計(jì)算出的值.

試題解析:(1)如圖①,

∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,

∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,

∴S△AEF≌S△DEF,

∵S四邊形ECBF=3S△EDF,

∴S△ABC=4S△AEF,

在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,

∴AB==5,

∵∠EAF=∠BAC,

∴Rt△AEF∽Rt△ABC,

=(2,即(2=

∴AE=;

(2)①四邊形AEMF為菱形.理由如下:

如圖②,∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,

∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,

∵M(jìn)F∥AC,

∴∠AEF=∠MFE,

∴∠AEF=∠AFE,

∴AE=AF,

∴AE=EM=MF=AF,

∴四邊形AEMF為菱形;

②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O,如圖②,

設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4﹣x,

∵四邊形AEMF為菱形,

∴EM∥AB,

∴△CME∽△CBA,

==,即==,解得x=,CM=

在Rt△ACM中,AM===,

∵S菱形AEMF=EFAM=AECM,

∴EF=2×=;

(3)如圖③,作FH⊥BC于H,

∵EC∥FH,

∴△NCE∽△NFH,

∴CN:NH=CE:FH,即1:NH=:FH,

∴FH:NH=4:7,

設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,

∵FH∥AC,

∴△BFH∽△BAC,

∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x):3=4x:4,解得x=

∴FH=4x=,BH=4﹣7x=,

在Rt△BFH中,BF==2,

∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3,

=

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(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(5)OGBD=AE2+CF2

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