Question

如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°．△EDF繞著邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交線段AC于點M，K．

(1)觀察：①如圖2、圖3，當∠CDF＝0°或60°時，AM＋CK________MK(填“＞”，“＜”或“＝”)；

②如圖4，當∠CDF＝30°時，AM＋CK________MK(只填“＞”或“＜”)；

(2)猜想：如圖1，當0°＜∠CDF＜60°時，AM＋CK________MK(填“＞”，“＜”或“＝”)，并說明理由；

(3)如果MK²＋CK²＝AM²，請直接寫出∠CDF的度數(shù)和的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①＝　　2分 　　②＞　　2分 　　(2)＞　　2分 　　理由：作點C關于FD的對稱點G， 　　連接GK，GM，GD， 　　則CD＝GD，GK＝CK，∠GDK＝∠CDK， 　　∵D是AB的中點，∴AD＝CD＝GD． 　　∵30°，∴∠CDA＝120°， 　　∵∠EDF＝60°，∴∠GDM＋∠GDK＝60°， 　　∠ADM＋∠CDK＝60°． 　　∴∠ADM＝∠GDM　　3分 　　∵DM＝DM， 　　∴△ADM≌△GDM，∴GM＝AM． 　　∵GM＋GK＞MK，∴AM＋CK＞MK　　1分 　　(3)∠CDF＝15°，　　2分 　　參考：由(2)，得GM＝AM，GK＝CK， 　　∵MK2＋CK2＝AM2，∴MK2＋GK2＝GM2，∴∠GKM＝90°， 　　又∵點C關于FD的對稱點G，∴∠CKG＝90°，∠FKC＝∠CKG＝45°， 　　又有(1)，得∠A＝∠ACD＝30°，∴∠FKC＝∠CDF＋∠ACD，∴∠CDF＝∠FKC－∠ACD＝15°， 　　在Rt△GKM中，∠MGK＝∠DGK＋∠MGD＝∠A＋∠ACD＝60°，∴∠GMK＝30°， 　　∴＝　∴＝