【題目】如圖1,正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CF垂直BG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F
(1)求證:△ABG≌△BCH;
(2)如圖2,連接AH,連接EH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)I;
求證:① AB2=AE·BH;② 求的值;
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)證得AB=BC,∠ABC=90°,根據(jù)垂直得到∠AGB=∠BHC=90°,再證明∠GAB=∠CBH即可得到結(jié)論;
(2)①根據(jù)兩組角分別相等證明△ABE∽△BHC即可得到結(jié)論;
②證明四邊形AECF是平行四邊形得到AF=CE=,證明AH=AB,得到AH=2AF,證明△AFH∽△IHC得到,連接AI,證明△AHI≌△ADI,得到=.
(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABG+∠CBH=90°,
∵BG⊥AE,BH⊥CF,
∴∠AGB=∠BHC=90°,
∴∠GAB+∠ABG=90°,
∴∠GAB=∠CBH,
∴△ABG≌△BCH;
(2)①∵∠EAB=∠CBH,∠ABE=∠BHC=90°,
∴△ABE∽△BHC,
∴,
∵AB=BC,
∴AB2=AE·BH;
②∵AE⊥BH,CF⊥BH,
∴AE∥CF,
∵AF∥CE,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∴AF=CE=,
∵EH==BE,AE⊥BH,
∴BG=GH,
∴AE垂直平分BH,
∴AH=AB=BC=2AF,
∴∠AHB=∠ABH=∠BCH,
∴∠AHF=∠HCI,
∵∠BAE=∠CBH,∠BAH=2∠BAE,∠CEI=2∠CBH,
∴∠BAH=∠CEI,
∴∠AFH=∠CIH,
∴△AFH∽△IHC,
∴,
連接AI,
∵∠ABH=∠AHB,∠EBH=∠EHB,
∴∠AHE=∠ABE=90°,
∴∠AHI=90°=∠D,
∵AH=AB=AD,AI=AI,
∴△AHI≌△ADI,
∴DI=HI,
∴=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”,隨著生活水平的提高,人們對(duì)飲水品質(zhì)的需求越來越高.孝感市槐蔭公司根據(jù)市場(chǎng)需求代理、兩種型號(hào)的凈水器,每臺(tái)型凈水器比每臺(tái)型凈水器進(jìn)價(jià)多200元,用5萬元購(gòu)進(jìn)型凈水器與用4.5萬元購(gòu)進(jìn)型凈水器的數(shù)量相等.
(1)求每臺(tái)型、型凈水器的進(jìn)價(jià)各是多少元;
(2)槐蔭公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)、兩種型號(hào)的凈水器共50臺(tái)進(jìn)行試銷,其中型凈水器為臺(tái),購(gòu)買資金不超過9.8萬元.試銷時(shí)型凈水器每臺(tái)售價(jià)2500元,型凈水器每臺(tái)售價(jià)2180元.槐蔭公司決定從銷售型凈水器的利潤(rùn)中按每臺(tái)捐獻(xiàn)元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金,設(shè)槐蔭公司售完50臺(tái)凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的利潤(rùn)為,求的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn),將△BDP沿DP所在的直線翻折后,點(diǎn)B落在B1處,若B1D⊥BC,則點(diǎn)P與點(diǎn)B之間的距離為( 。
A.1B.C.1或 3D.或5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)”帶著我們“賞中華詩(shī)詞、尋文化基因、品生活之美”,從古人的智慧和情懷中汲取營(yíng)養(yǎng)、涵養(yǎng)心靈,其中的“飛花令”環(huán)節(jié),在廣大青少年中圈粉無數(shù).西安鐵一中分校初三二班的同學(xué)們準(zhǔn)備在班內(nèi)舉行“飛花令”比賽,組織過程如下:全班同學(xué)分成五個(gè)小組,每個(gè)小組派5名同學(xué)參加比賽,這5名同學(xué)依次從寫有“春”、“云”、“月”、“花”、“夜”的五張卡片中隨機(jī)摸出一張(不放回),5個(gè)小組中抽取相同字的同學(xué)進(jìn)行比賽(例如5名抽到“春”字同學(xué)進(jìn)行以“春”為主題字的飛花令比賽).第一小組的小麗和第二小組的小英分別是各自小組第一個(gè)抽取卡片的同學(xué).
(1)求小麗抽到“春”的概率;
(2)小麗和小英都比較擅長(zhǎng)“春”和“月”為主題的詩(shī)句,求她們至少有一人抽到自己擅長(zhǎng)的主題字的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=x2+2ax-3與x軸交于A、B(1,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,將拋物線沿y軸平移m(m>0)個(gè)單位,當(dāng)平移后的拋物線與線段OA有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),則m的取值范圍是_______________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成的,其中,第1個(gè)圖形中面積為1的正方形有9個(gè),第2個(gè)圖形中面積為1的正方形有14個(gè),……,按此規(guī)律,則第幾個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為2019個(gè)( )
A.400B.401C.402D.403
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,在中,,,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)如圖①,若點(diǎn)分別為上的點(diǎn),且,試探究和的數(shù)量關(guān)系;并說明四邊形的面積是定值嗎?若是,請(qǐng)求出;若不是,請(qǐng)說明理由.
(2)若點(diǎn)分別為延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且,那么嗎?請(qǐng)利用圖②說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)是上一點(diǎn),且,與交于點(diǎn).
(1)求證:是的切線;
(2)若,求證:是的平分線;
(3)在(2)的條件下,延長(zhǎng),交與點(diǎn),若,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC,請(qǐng)用直尺(不帶刻度),和圓規(guī),按下列要求作圖(不要求寫作法,但要保留作圖痕跡).
(1)作菱形AMNP,使點(diǎn)M,N、P在邊AB、BC、CA上;
(2)當(dāng)∠A=60°,AB=8,AC=6時(shí),求菱形AMNP的面積.
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