Question

將一塊三角板按如圖所示放在直角坐標系中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2．將三角板沿OB翻折后，得到△OBC．
（1）求點C的坐標；
（2）求經過O，A，C三點的拋物線的表達式；
（3）以OB為直徑的圓是否經過（2）中所求拋物線的頂點？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）作CH⊥x軸，垂足為H，在Rt△OAB中運用三角函數(shù)可求出OA，由翻折可得OC=OA，∠COH=2∠AOB，然后在Rt△OCH中運用三角函數(shù)就可解決問題；
（2）只需運用待定系數(shù)法就可解決問題；
（3）可運用拋物線的頂點坐標公式求出頂點坐標，從而得到點C就是拋物線的頂點，然后根據(jù)∠OCB=90°就可得到點C在以OB為直徑的圓上，從而解決問題．

解答：解：（1）作CH⊥x軸，垂足為H，如圖所示，

在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2，
∴OA=

AB

tan∠AOB

=

2

tan30°

=2

3

．
在Rt△OCH中，OC=OA=2

3

，∠COH=2∠AOB=60°，
∴OH=OC•cos∠COH=2

3

×cos60°=2

3

×

1

2

=

3

．
CH=OC•sin∠COH=2

3

×sin60°=2

3

×

3

2

=3．
∴點C的坐標為（

3

，3）．

（2）設所求的拋物線的表達式為y=ax²+bx+c，
將O（0，0），A（2

3

，0），C（

3

，3）分別代入表達式，得

c=0 12a+2 3 b+c=0 3a+ 3 b+c=3

，
解得：

a=-1 b=2 3 c=0

，
∴經過O，A，C三點的拋物線的表達式為y=-x²+2

3

x．

（3）∵x=-

b

2a

=-

2 3

2×(-1)

=

3

，y=

4ac-b2

4a

=

0-(2 3 )2

4×(-1)

=3，
∴拋物線的頂點為（

3

，3）．
∵∠OCB=90°，
∴點C（

3

，3）在以AB為直徑的圓上，
∴以OB為直徑的圓經過拋物線的頂點．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線的表達式、拋物線的頂點坐標公式、三角函數(shù)、圓周角定理、軸對稱的性質等知識，有一定的綜合性．