Question

【題目】在圓O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E，且弧AC與弧BD相等．點(diǎn)D在劣弧AB上，聯(lián)結(jié)CO并延長交線段AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OA、OB．當(dāng)OA＝，且tan∠OAB＝．

（1）求弦CD的長；

（2）如果△AOF是直角三角形，求線段EF的長；

（3）如果S△CEF＝4S△BOF，求線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）或；（3）2+

【解析】

（1）如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，由銳角三角函數(shù)可求OH＝1，AH＝2，由垂徑定理可得AB＝4，即可求CD＝4

（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解；

（3）先利用面積關(guān)系得出，進(jìn)而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出結(jié)論．

解：（1）如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，

∵tan∠OAB＝，

∴設(shè)OH＝a，AH＝2a，

∵AO2＝OH2+AH2＝5，

∴a＝1，

∴OH＝1，AH＝2，

∵OH⊥AB，

∴AB＝2AH＝4，

∵弧AC＝弧BD

∴，

∴AB＝CD＝4；

（2）∵OA＝OB，

∴∠OAF＝∠OBA，

∴∠OAF＝∠ECF，

①當(dāng)∠AFO＝90°時(shí)，

∵OA＝，tan∠OBA＝，

∴OC＝OA＝，OF＝1，AB＝4，

∴EF＝CFtan∠ECF＝CFtan∠OBA＝；

②當(dāng)∠AOF＝90°時(shí)，

∵OA＝OB，

∴∠OAF＝∠OBA，

∴tan∠OAF＝tan∠OBA＝，

∵OA＝，

∴OF＝OAtan∠OAF＝，

∴AF＝，

∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，

∴△OFA∽△EFC，

∴，

∴EF＝，

即：EF＝或；

（3）如圖，連接OE，

∵∠ECB＝∠EBC，

∴CE＝EB，

∵OE＝OE，OB＝OC，

∴△OEC≌△OEB，

∴S△OEC＝S△OEB，

∵S△CEF＝4S△BOF，

∴S△CEO+S△EOF＝4（S△BOE﹣S△EOF），

∴，

∴，

∴FO＝，

∵△OFA∽△EFC，

∴，

∴BF＝BE﹣EF＝CE﹣EF＝EF，

∴AF＝AB﹣BF＝4﹣EF，

∵△OAF∽△EFC，

∴，

∴，

∴EF＝3﹣，

∴AF＝4﹣EF＝2+．