Question

【題目】對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)和點(diǎn)，給出如下定義：點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn)，若點(diǎn)使得是以為頂角且小于90°的等腰三角形，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)．如圖，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)，在點(diǎn)，中，是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)的是___________．

（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（3）點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)是以為圓心，2為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．直線與軸和軸分別交于點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)等腰銳角點(diǎn)的定義即得；

（2）先確定極限位置：直線與圓相切于第四象限及直線過(guò)（0,3）時(shí)b的值，進(jìn)而確定范圍；

（3）分類討論：E點(diǎn)和F點(diǎn)位于線段HK左側(cè)；E點(diǎn)和F點(diǎn)位于線段HK右側(cè)；利用一線三垂直模型及相似三角形的性質(zhì)確定極限位置t的值，進(jìn)而確定范圍．

（1）∵點(diǎn)P是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，

∴OA=OP=2

如下圖：

當(dāng)時(shí)，OP1=2，OP1⊥OA，不成立；

當(dāng)時(shí)，過(guò)P2作P2M⊥x軸

∴OM=1，P2M=

∴在中，

∵

∴點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)不是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，過(guò)P4作P4N⊥x軸

∴ON=，P4N=

∴在中，，

∴點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)．

∴點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)有，

故答案為：

（2）以O為圓心，OA=3為半徑作圓，當(dāng)直線與圓O相切與第四象限時(shí)，切點(diǎn)即為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，如下圖點(diǎn)．

由題意，得：OB=-b，OD=

∴在中，

∵

∴

解得：

如上圖：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)E時(shí)，，OE⊥OA

∴要使在直線上存在點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，

綜上所述：時(shí)，直線上存在點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn) ．

（3）如下圖：

當(dāng)在直線左側(cè)，時(shí)，過(guò)作

∵

∴

∴

∵

∴KO=4，KH=，EH=4-t

∴EG=

∵要使線段上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，則

∴

∴

當(dāng)E點(diǎn)和F點(diǎn)位于線段HK右側(cè)時(shí)，即：時(shí)，如下圖，過(guò)E作EB⊥EF，過(guò)B作BM⊥x軸，過(guò)點(diǎn)F作FL⊥x軸

當(dāng)時(shí)，

∴，

∵，

∴，

∴

∴

將點(diǎn)代入直線得：

解得：

∴當(dāng)時(shí)，線段上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)．

∵，

∴，即

綜上所述：時(shí)，線段上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)