Question

如圖所示，直線l₁⊥l₂，垂足為點(diǎn)O，A，B是直線l₁上的兩點(diǎn)，且OB=2，AB=

2

．直線l₁繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0°＜α＜180°）．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，在直線l₂上找點(diǎn)P，使得△BPA是以∠B為頂角的等腰三角形，此時(shí)OP=

 

．
（2）當(dāng)α在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l₂上存在點(diǎn)P，使得△BPA是以∠B為頂角的等腰三角形，請用不等式表示α的取值范圍：

 

．

Answer 1

分析：（1）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫圓，與l₂的交點(diǎn)即是P點(diǎn)．則在直角三角形OBD中，解直角三角形，即可求解．
（2）根據(jù)垂線段最短，從點(diǎn)B向l₂作垂線BD，交點(diǎn)為D，則根據(jù)特殊角的三角函數(shù)可知∠B0P的度數(shù)，即可求解．

解答：解：（1）在直線l₂上找點(diǎn)P，使得△BPA是以∠B為頂角的等腰三角形，則以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫圓即可．與l₂的交點(diǎn)就是點(diǎn)P．從B點(diǎn)作OP的高BD，則在直角三角形OBD中，解直角三角形可知：OD=

3

，所以PO=

3

-1或

3

+1．

（2）如圖，作BC⊥L₂于C點(diǎn)．
在△PBC中，BC＜BP．
∵BP=BA=

2

，
∴BC＜

2

，
∴cos∠OBC=

CB

OB

＜

2

2

，
∴∠OBC＞45°
而α=90°時(shí)兩直線重合，
∴∠OBC≠90°，
∴45°＜α＜90°；
同理當(dāng)l₁旋轉(zhuǎn)到l₂的左邊時(shí)∠OBC＞45°，
∴α=90°+∠OBC，
而0°＜a＜135°，
∴90°＜α＜135°，
所以45°≤α＜90°或90°＜α≤135°．

點(diǎn)評：本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)與等腰三角形的知識，注意要做等腰三角形，腰一端的為頂點(diǎn)畫圓是最好的方法．