Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線AC的解析式為y=-

1

2

x+2，直線AC交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)A．
（1）若一個(gè)等腰直角三角形OBD的頂點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點(diǎn)P，使得△AOP的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）試在直線AC上求出到兩坐標(biāo)軸距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)直線AC的解析式即可求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，也就求出了OA、OC的長(zhǎng)度，而三角形OBD是等腰直角三角形OBD，接著利用勾股定理和等腰直角三角形即可求出B的坐標(biāo)；
（2）由于等腰三角形OBD是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是l，因此得到點(diǎn)O與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，所以得到直線AC與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，把x=2代入y=-

1

2

x+2即可求出P的坐標(biāo)；
（3）可以設(shè)滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-

1

2

m+2），然后根據(jù)到兩坐標(biāo)軸距離相等可以列出方程，然后解方程即可求出m．

解答：解：（1）∵直線AC的解析式為y=-

1

2

x+2，直線AC交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)A，
∴A（0，2），C（4，0），
∴OC=4，
∵三角形OBD是等腰直角三角形，
∴B（2，2）；

（2）∵等腰三角形OBD是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是l
∴點(diǎn)O與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴直線AC與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
把x=2代入y=-

1

2

x+2，得y=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）；

（3）設(shè)滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-

1

2

m+2），
由題意得-

1

2

m+2=m或-

1

2

m+2=-m，
解得m=

4

3

或m=-4，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

4

3

，

4

3

）或（-4，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，題中運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)及直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)以及直角三角形等知識(shí)求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．