Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于點，與軸相交于點．

（1）求的值和的值以及點的坐標；

（2）觀察反比例函數(shù)的圖像，當時，請直接寫出自變量的取值范圍；

（3）以為邊作菱形，使點在軸正半軸上，點在第一象限，求點的坐標；

（4）在y軸上是否存在點，使的值最��？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）n=3，k=12，點B的坐標為（2，0）；（2）x≤﹣4或x＞0；（3）點D的坐標為（4+，3）；（4）存在，P（0，1）．

【解析】

（1）把點A（4，n）代入一次函數(shù)中可求得n的值，從而求出一次函數(shù)的解析式，于是可得B的坐標；再把點A的坐標代入反比例函數(shù)中，可得到k的值；
（2）觀察反比例函數(shù)圖象即可得到當y≥-3時，自變量x的取值范圍．

（3）先求出菱形的邊長，然后利用平移的性質(zhì)可得點D的坐標；
（4）作點B關(guān)于y軸的對稱點Q,連接AQ交y軸于點P，此時的值最小，據(jù)此可解.

解：（1）把點A（4，n）代入一次函數(shù)y=x﹣3，

可得n=×4﹣3=3；

把點A（4，3）代入反比例函數(shù)，

可得3=，

解得：k=12．

∵一次函數(shù)y=x﹣3與x軸相交于點B，

∴x﹣3=0，

解得：x=2，

∴點B的坐標為（2，0），

（2）當y=﹣3時，，

解得：x=﹣4．

故當y≥﹣3時，自變量x的取值范圍是x≤﹣4或x＞0．

（3）如圖1，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，

∵A（4，3），B（2，0），

∴OE=4，AE=3，OB=2，

∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，

在Rt△ABE中，

AB==．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD =AB=，AD∥BC，

∴點A（4，3）向右平移個單位到點D,

∴點D的坐標為（4+，3）．

（4）存在.

如圖2，作點B關(guān)于y軸的對稱點Q,連接AQ交y軸于點P，此時的值最小.

設直線AQ的解析式為y=kx+b,

∵點B（2，0）關(guān)于y軸的對稱點Q的坐標為（-2，0），

∴,

∴，

∴直線AQ的關(guān)系式為，

∴直線AQ與y軸的交點為P（0，1）．

∴在y 軸上存在點P（0，1），使的值最小.